Статистическая проверка гипотез (стр. 6 из 8)

По виду корреляционной таблице можно судить о виде корреляционной зависимости.

Вычислим середины частичных интервалов

;

i=1,…,n; j=1,…,m.

Внесем найденные значения в корреляционную таблицу. По таблице вычислим оценки математических ожиданий и дисперсий

;

Коэффициент линейной корреляции определяются по формуле:

Для простоты вычислений обычно используют замену переменных:

;

где С₁ и С₂ – значения x_i^* и y_j^* соответствующие максимальной частоте

. Желательно, чтобы клетка с данной частотой находилась в середине таблицы. Точку (С₁,С₂) называют ложным нулем. Переменные U и V – принимают значения: 0; ±1; ±2,…

;

При вычислениях используем, что

;

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

Вернемся к исходным переменным:

;

Уравнения регрессии:

;

Графики функций пересекаются в точке

Пример:

Даны результаты 78 экспериментов:

X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
73	-291	57	-219	61	-241	68	-264
69	-270	71	-281	62	-243	62	-240
72	-279	66	-262	63	-245	70	-277
72	-282	76	-302	71	-282	70	-279
65	-254	70	-275	65	-252	65	-253
67	-264	68	-267	70	-276	70	-275
56	-216	74	-290	70	-276	63	-248
70	-276	68	-266	63	-246	63	-243
63	-248	71	-283	73	-284	67	-264
64	-253	60	-237	68	-271	68	-267
70	-276	56	-222	59	-227	55	-213
67	-262	71	-281	64	-256	56	-218
60	-234	68	-269	79	-309	58	-223
80	-313	66	-257	77	-300	70	-278
71	-278	60	-235	78	-310	59	-236
74	-292	70	-275	66	-255	68	-263
68	-271	69	-276	63	-252	69	-268
65	-256	72	-282	69	-274	63	-243
73	-291	70	-277	74	-291	70	-271
63	-243	69	-270

Начало первого интервала x₀ = 53, y₀ = –321;

Длина интервала h₁ = 5, h₂ = 17.

1. Построить корреляционное поле для 4-ых столбцов X и Y и методом “натянутой нити” найти линейные функции регрессии.

2. Составить корреляционную таблицу. Вычислить коэффициент линейной корреляции, найти уравнения регрессий и построить их графики.

3. Проверить гипотезу о незначимости коэффициента корреляции.

Решение.

1. По последним столбцам X и Y находим:

x_min=55; y_min=-279;

x_max=70; y_max=-213;

На осях отображаем тот промежуток, где находятся значения X и Y. Представляя в виде точек пары чисел (x₁; y_j) строим корреляционное поле:

Используя метод “натянутой нити”, проведём прямую. На прямой выберем две точки (57, -220) и (69, -270), расположенные достаточно далеко друг от друга.. Подставляя значения в функцию y=ax+b, получим систему уравнений относительно a и b.

Получим решение a = - 4,17; b = 17,69. Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = - 4,17 x + 17,69.

2. Найдём минимальные и максимальные значения X и Y среди результатов эксперимента:

x_min=55; y_min=-313; x_max=80; y_max=-213;

Составим корреляционную таблицу с шагом h₁=5 по X и h₂=17 по Y. Учитываем, что левая граница входит в интервал, а правая нет.

Клетка в шапке сверху содержит границы интервала по Y [y_j, y_j₊₁], значение середины интервала y_j^* и значение середины интервала для условной переменной V. Клетка в шапке слева содержит границы интервала по X [x_i, x_i₊₁], значение середины интервала x_i^* и значение середины интервала для условной переменной U.

Произвольная клетка таблицы содержит число результатов

, попавших в соответствующие интервалы. В нижней строке записываются суммы чисел в столбцах. В крайнем левом столбце – суммы чисел в строках.

Таблица 8.

Y,V X,U	[321,-304) -312,5; -2	[304,-287) -295,5; -1	[287,-270) -278,5; 0	[270,-253) -261,5; 1	[253,-236) -244,5; 2	[236,-219) -227, 5; 3	[219,-202) -210,5 ; 4	n_x n_u
[53,58) 55,5;-3	. 1	. . . . 4	5
[58,63) 60,5;-2	. . . . 4	. . . . 5	9
[63,68) 65,5;-1	. . . . 9	. . . . . 11	20
[68,73) 70,5;0	.. 24	. . . . 9	33
[73,78) 75,5;1	. . . . 7	. 1	8
[78,83) 80,5;2	. . . 3	3
n_y, n_v	3	7	25	18	15	6	4	78

Переход к условным вариантам.

;

C₁=70,5; С₂=-278,5 – координаты клетки с максимальным числом результатов экспериментов.

,…,

;

,…,

;

Вычисляем средние:

Вычислим среднее квадратов:

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

;