Лазеры на свободных электронах (стр. 2 из 7)

l » L /2 g 2

(2)

Для оценки величины g удобна известная релятивистская связь между энергией W = mc 2 и массой частицы высокой энергии m = g m 0, где m , — масса покоя частицы. В физике электронных ускорителей энергию электрона обычно измеряют в электронвольтах, пользуясь соотношением W = eU , где е — заряд электрона, а U — разность потенциалов того электростатического поля, которое необходимо для ускорения электрона до скорости V . Тогда

g = eU / m 0 c 2

(3)

Как известно, энергия покоя электрона m 0 c 2 составляет 511 кэВ. Это означает, что при eU = 50 МэВ релятивистский фактор g равен g » 10 2 , так что при макроскопическом параметре L = 1 см длина волны излучения l попадает в область видимого света.

Следовательно, желая создать лазеры на свободных электронах, мы должны ориентироваться на существенно релятивистские случаи, когда

g = (1 — V 2 /с 2) - 1/2 >>1 или | V-c | << 1.

(4)

Роль релятивистских эффектов отнюдь не сводится только к резкому увеличению частоты излучения электронов. Очевидно, при релятивистской скорости электронов автоматически обеспечивается синхронизм электронного и светового пучков. Электронные ускорители, генерирующие пучки электронов сверхвысокой энергии, обычно работают в импульсном режиме.

Рис. 2. Схема лазера на свободных электронах: 1 — зеркала, 2 — электронный пучок, 3 — магнитный ондулятор; С и Ю — северный и южный полюсы магнитов ондулятора.

Если за время пролета пространства взаимодействия электронов с волной электронный пакет разойдется со световой волной меньше, чем на длину волны, нарушением синхронизма можно пренебречь.

Правда существуют и слабо релятивистские приборы, подобные мазерам на циклотронном резонансе, разработанным под руководством А. В. Гапонова-Грехова, которые оказались весьма перспективными источниками коротковолнового СВЧ излучения большой мощности. С целью получения большой мощности при сравнительно низкой частоте генерации (СВЧ или дальний ИК диапазоны) обычно используются сильноточные пучки электронов не слишком высокой энергии. Продвижение в оптический диапазон требует применения электронных пучков большой энергии (см. формулу (2), которые вследствие этого обладают сравнительно низкой плотностью. В случае сильных токов существенную роль играют коллективные эффекты в плазме пучка, роль которых в создании условий для индуцированного излучения вкратце обсуждена в начале этой лекции. В случае слабых токов взаимодействие электронов с полем имеет существенно одночастичный характер. Имея в виду лазер на ультрарелятивистских электронах (g >>1), дальнейшее рассмотрение проведем в одночастичном приближении. Количественный критерий законности одночастичного подхода мы приведем в конце нашего рассмотрения.

Теория ЛСЭ; ондуляторный лазер на свободных электронах

В ондуляторном лазере на свободных электронах релятивистский электронный пучок (обычно это последовательность коротких электронных пакетов) пролетает через достаточно протяженную область, в которой магнитное поле пространственно периодично (2). Систему, обеспечивающую пространственную периодичность поля, называют ондулятором (от французского onde — волна или ondulatoire — волнообразный, волнообразователь) или виглером (от английского wiggle — покачивать, извиваться). Магнитные ондуляторы создают вблизи оси пучка постоянное во времени поперечное пространственно-периодическое линейно или циркулярно поляризованное поле.

Рассмотрим лазер со спиральным ондулятором, магнитное поле, на оси которого циркулярно поляризовано. При круговой поляризации волны, распространяющейся вдоль оси z параллельно электронному пучку, электроны находятся в полях, определяемых векторными потенциалами поля ондулятора A 1 и пола электромагнитной волны A 2,

A 1 =

A 2 =

(5)

Здесь x и у — единичные векторы вдоль осей Ох и Оу, перпендикулярных друг к другу и к оси Оz; Е — напряженность электрического поля; w — частота распространяющейся вдоль Ог электромагнитной волны; q = 2 p / L (L и Н — период и напряженность магнитного поля ондулятора).

В системе координат, движущейся с первоначальной скоростью электронов V » c , потенциалы (5) принимают вид

(6),

где величины со штрихом относятся к движущейся системе координат и в соответствии с (3) и (4)

,

W =cq g

Первая из формул (6) показывает, что в сопутствующей системе координат потенциал поля ондулятора становится близким к потенциалу плоской волны частоты W. Другими словами, релятивистский электрон воспринимает статическое пространственно-периодическое магнитное поле как распространяющуюся навстречу ему электромагнитную волну с длиной волны L / g . Условие резонанса

определяет ту частоту поля, в окрестности которой возможны усиление и генерация в ондуляторном лазере на свободных электронах. В лабораторной системе отсчета это условие дает значение

(7),

что полностью эквивалентно приведенной выше формуле (2).

Уравнения движения электрона в сопутствующей системе отсчета запишем в виде

(8),

где z — единичный вектор вдоль оси Ог; р’ и V’ импульс и скорость электрона; А' = А’ 1 + А’ 2 и учтено, что А' не зависит от поперечных координат. В силу этой независимости легко написать первый интеграл уравнения (8), определяющий движение электрона в плоскости xу:

(9)

Если считать движение электрона в сопутствующей системе координат нерелятивистским, то интеграл (9) прямо определяет скорость электрона в поперечной плоскости:

,

(10)

Как видно из записи (6), векторный потенциал А не имеет продольной компоненты

, что соответствует характеру намотки двухзаходной спирали соленоида, создающего ондуляторное поле, и поперечности распространяющейся в ондуляторе электромагнитной волны. Тогда уравнение для продольной компоненты импульса электрона согласно (8) принимает вид

(11)

Подставив в (11) значения компонент скорости

и из (10), легко найти, что

(12)

Сумма квадратов поперечных составляющих суммарного векторного потенциала А' равна

(13)

Подставляя это выражение в (11) и учитывая, что при нерелятивистском движении в сопутствующей системе координат

, получаем уравнение для продольной координаты электрона в этой системе:

(14)

Аргумент синуса определяет фазу движения электрона в полях ондулятора и распространяющейся в нем волны:

(15)

Связь фазы j с продольной координатой движения электрона г и временем t в лабораторной системе отсчета может быть получена с помощью обратного преобразования Лоренца:

(16)

В окрестности резонанса, т. е. при

, имеем

(17)

Переходя в лабораторную систему отсчета и подставляя в (17) значения

и , получаем уравнение