Лазеры на свободных электронах (стр. 3 из 7)

(18)

Таким образом, уравнение движения электрона в ондуляторе сводится к уравнению классического математического маятника для фазы этого движения. Это свидетельствует о наличии глубокой аналогии между лазером на свободных электронах и электронными приборами СВЧ, которые в приближении заданного поля также описываются подобными уравнениями.

Дальнейший анализ требует задания начальных условий. В момент входа электрона в ондулятор фаза имеет некоторое, вообще говоря, произвольное значение j 0. Второе начальное условие легко получить дифференцированием выражения (16), служащего определением фазы. В результате при t= 0 имеем

j = j 0

(19)

Заметим, что начальная скорость изменения фазы пропорциональна отстройке частоты излучения от резонансного значения.

Уравнение (18) с начальными условиями (19) полностью определяет движение электрона в полях волны и ондулятора и позволяет определить основные характеристики лазера.

Найдем энергию, излучаемую электроном в ондуляторе за один проход. Энергия, излучаемая в единицу времени, определяется как взятая с обратным знаком работа, совершаемая полем волны над электроном:

(20)

где по определению

. Это уравнение позволяет установить простую связь между излучаемой энергией F и фазой j .

Действительно, с учетом (9) поперечная скорость электрона в лабораторной системе координат равна

(21)

Подставляя (6) в (21), а (21) в (20), после простых преобразований получаем

(22)

Но sin j связан с d 2 j /dt 2 уравнением маятника (18), что и дает искомую связь в достаточно простой форме:

(23)

Здесь W = g m 0 c 2 — полная энергия релятивистского электрона.

Интегрирование этого уравнения с учетом начальных условий (19) для d j /dt и при естественном предположении, что F(0)=0 , дает

(24)

Воспользуемся далее хорошо известным первым интегралом уравнения движения маятника, который выражает закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий маятника в произвольный момент времени равна их cумме в начальный момент времени t = 0 . В наших обозначениях с учетом начальных условий (19) это означает, что

(25)

Отметим, что уровень полной энергии маятника определяется как начальной фазой j 0, так и расстройкой w - w 0 . В приближении слабого сигнала

(26),

где учтено, что время прохождения электроном ондулятора длины L равно L/c , т. е. при E = 0 наш аналог маятника совершает не колебательное, а вращательное движение относительно некоторого положения равновесия, совершая полные обороты с круговой частотой (w - w 0)/2 g 2 . Это означает, что в приближении слабого сигнала уравнение (25) может решаться методом итераций по отношению к слагаемому

.

Не загромождая изложение протяженными выкладками, отметим, что в нулевом порядке излучаемая энергия (24) равна нулю. В отсутствие поля электромагнитной волны нет ни излучения, ни поглощения. В следующем, первом, приближении излучаемая энергия оказывается пропорциональной cos j 0 , или sin j 0 . Но в электронных ускорителях высокой энергии электронный пучок состоит, как уже отмечалось, из электронных сгустков (электронных пакетов) конечной длительности с продольным размером, обычно не меньшим 1 мм, что существенно превышает длину волны света. Следовательно, излучаемая энергия должна быть усреднена по начальной фазе j 0.

В результате такого усреднения в первом порядке по Е излучаемая энергия обращается в нуль. Только во втором порядке итераций уравнение (25) дает отличную от нуля среднюю скорость изменения фазы, что с помощью (24) позволяет определить среднюю энергию, излучаемую электроном за один проход

. Эта величина естественным образом связана со значением коэффициента усиления излучения за один проход по мощности 1 + G, а именно:

(27),

где N e — электронная плотность. В результате довольно громоздких выкладок получается выражение

(28)

где введены обозначения

, — число периодов ондулятора, L — его длина.

Коэффициент усиления G пропорционален производной от спектральной интенсивности спонтанного излучения, что прекрасно иллюстрируется, представленными на рис. 3 результатами измерения этих величин.

Рис. 3. Спектр спонтанного ондуляторного излучения (a) и спектральная зависимость коэффициента усиления в Лсэ (б)

Фактор

определяет дисперсионную зависимость G(w). Усиление возможно (G>0) при u<0 или w < w 0. Максимальный коэффициент усиления достигается при | u | = 1. Это условие определяет ширину полосы усиления:

(29),

обусловленную конечной длиной ондулятора

и являющуюся аналогом обычной однородной ширины линии. Подчеркнем, однако, что формула (28) получена для моноэнергетического пучка электронов. В реальных условиях дело обстоит не всегда так, и если разброс электронов по энергиям в пучке достаточно велик, то возникает неоднородное уширение, которое может оказаться более существенным, чем однородное.

При выполнении неравенства

неоднородное уширение превышает однородное и формулу (28) необходимо усреднить по функции распределения электронов по энергиям f(W). В случае сильного неоднородного уширения фактор можно аппроксимировать дельта-функцией: . Тогда после усреднения по W получаем

(30)

Здесь введено обозначение

и принято, что функция распределения f (W) нормирована условием , в силу чего . Максимальный коэффициент усиления достигается при , , где — средняя энергия электронов в пучке. Отсюда следует, что ширина полосы усиления в этом случае равна

(31)

Формула (30), справедливая при

, допускает наиболее прямую аналогию с лазерами, основанными на переходах между дискретными уровнями атомов или молекул. В самом деле, условие отрицательности поглощения (G>0) выполняется, если . Это означает, что усиление осуществляется электронами, соответствующими возрастающему крылу функции распределения, и наоборот, поглощению отвечает ниспадающее крыло распределения электронов по энергии. Другими словами, усиление наблюдается при условии, что число электронов с большей энергией в окрестности W 0 больше числа электронов с меньшей энергией. А это есть не что иное, как условие инверсии населенности уровней применительно к системе с непрерывным спектром. При неоднородном уширении ( ) условием отрицательного поглощения является обычное условие инверсии населенностей в окрестности энергии W 0 определяемой частотой w и периодом ондулятора .

Формулы (28) и (30) получены в одночастичном приближении. Вместе с тем, как уже говорилось раньше, в случае больших электронных токов существенную роль могут, вообще говоря, играть коллективные эффекты в плазме пучка. Однако если в сопутствующей релятивистским электронам системе координат произведение инкремента развития плазменных неустойчивостей на время пролета электронов через ондулятор мало, то неустойчивости не возникают и коллективными эффектами можно пренебречь. Максимальный инкремент развития неустойчивостей в плазме определяется плазменной частотой

. Условием одночастичности взаимодействия является выполнение требования , где и — соответственно плазменная частота и время взаимодействия в движущейся системе координат. Обратное лоренцево преобразование для времени и продольной координаты приводит к условию , которое для ультрарелятивистских электронов всегда выполняется с большим запасом.