Экономическая оценка инвестиций 10 (стр. 7 из 20)
В первой колонке входящий остаток инвестиций для каждого года, на основе которого определена сумма нормативной прибыли при норме в 10 %. Соответственно, на конец года остается невозмещенный остаток - из суммы входящего остатка и нормативной приыбыливычетаем доходы от текущей деятельности. Через четыре года остается невозмещенной сумма в 30 млн. р., за экономический срок жизни инвестиций возможные потери 8 млн. р., а при шести годах возможно получения 15,7 млн. р. прибыли.
4.2. Учет фактора времени в расчетах эффективности
При оценке того или иного инвестиционного решения сопоставляются затраты и результаты, осуществляемые в разные моменты времени. Перед сложением и сопоставлением потоков денежных средств эти потоки приняты в сопоставляемый вид, или “проводить” к определенному моменту времени. Таким моментом может быть дата принятия решения об инвестировании, дата регистрации предприятия, дата начала строительства.*
Процесс роста основной суммы вклада за счет накопления процентов называется начислениемсложного процента. Сумма полученная в результате накопления процента, называется наращенной или будущей стоимостью суммы вклада по истечении периода, за который осуществляется расчет. При этом, первоначальная сумма вклада называется текущей, настоящей, сегодняшней стоимостью.
Если текущую стоимость обозначить через PV (prezent value), будущую стоимость через FV (future value), ставку процента через r, число периодов через f , получим
FV = PV (1 + r)t (4.1)
Коэффициент (1 + r)t называют коэффициентом начисления сложных процентов.
Для инвестиционных расчетов актуальна и обратная задача: по заданной сумме, которую предлагается уплатить (или получить) через t периодов времени, определить ее стоимость с позиции сегодняшнего дня “настоящую” или текущую стоимость. Это действие (сведение будущих денежных сумм к настоящему моменту времени) называется дисконтированием (disconting).
PV = FV (1 + r)-t (4.2)
Множитель (1 + r)-t называется коэффициентом дисконтирования (коэффициентом текущей стоимости). Величину С0, получаемую дисконтированием величиныСt называют текущей, современной (приведенной) величиной.
Пример 4.3.В какую сумму превратитьсядолг, равный 10 млн. р. через пять лет при росте по ставке сложного процента равной 5,5 % в год?
Решение: FV = PV(1 + r)t
или FV = 10 (1 + 0,055)5 = 13,069 млн. р.
Пример 4.4.Какую сумму получил должник если через пять лет, после подписания контракта уплаты долг со ставкой сложного процента равной, 5,5 % в год, в сумме 13,0696 млн. р.
Решение: PV = FV (1 + r)-t
или PV = 13,0696 (1 + 0,055)-5 = 13,0696 * 0,765134 = 9,999 = 10,0 млн. р.
Схематически можно представить на рис. 2 начисления сложных процентов, на рис. 3 дисконтирование.
НеизвестнаяИзвестная будущая Неизвестная будущая
текущая стоимость Известная текущая
стоимость стоимость
 |  |
PV FV PV FV
0 1 2 3 . . . tВремя 0 1 2 3 . . . t ВремяРис. 4.2. Начисления сложных Рис. 4.3. Дисконтирование
процентов
Пример 4.5. Предположим, что по проекту предполагается следующий поток денежных средств (CF). Исчислим текущую стоимость всего потока, если процентная ставка r = 0,10. Расчет покажем в табл. 4.2
Таблица 4.2.
| Годы | Денежный | Коэффициент дисконти- | Дисконтированный денежный |
| поток, CF | рования, l, при r = 0,10 | поток, Cft = CF (1 + r)-t | |
| 1 | CF1 = 500 | l1 = 0,909 | CF1 l1 = 454,5 |
| 2 | CF2 = 500 | l2 = 0,826 | CF1 l2 = 413,0 |
| 3 | CF3 = 500 | l3 = 0,751 | CF1 l3 = 375,5 |
| Продолжение табл. 4.2. | |||
| 4 | CF4 = 500 | l4 = 0,683 | CF1 l4 = 341,5 |
| 5 | CF1 = 500 | l5 = 0,621 | CF1 l5 = 310,5 |
| å dt = 3,790 å Сftdt = 1895,0 | |||
Суммарная текущая стоимость всего потока за период Т составила
5
Pvт = å Сft l1 = 1875.
t=1
Если величина ежегодных (получаемых через равные
промежутки времени) потоков одинаковы, следует записать
5
Pvt = А (l1 + l2 + l3 + l4 + l5) = А ålt .
t=1
Равные денежные суммы, получаемые или выплачиваемые через одинаковые промежутки времени, называют аннуитетом (annuity). Обозначим аннуитет А, прием неизменной по всему расчетному периоду Т, ставку сравнения r, получим выражения:
t__1__
PVт = A å (1 + r)t , или (4.4)
t=1
(1 + r)t - 1
PVт = А r (1 + r)t = ААt , или (4.5)
Коэффициент [(1 + r)t - 1] / r (1 + r)t называют коэффициентом аннуитета, фактором аннуитета фактором Инвуда, коэффициентом сумм дисконтирования (Аt).
Превращения платежного ряда в “разовый платеж сейчас” графически покажем на рис. 4.
д.е. Неизвестнаятекущая стоимость
 |  |  | ||||||
 | ||||||||
 | | | | |||||
PV
 |
0 1 2 34
Рис. 4.4. Текущая стоимость обычного аннуитета
Пример 4.5.Для ежегодных выплат в течение 5 лет по 500 д.е. достаточно положить в банк под процентную ставку в 10 % годовых сумму 1895 д. е. Проверим:
5
PVт = å CFt (1 + r)-t = А Аt
t=1
PV = 500*3,7908 = 1895 д. е.
Представим сумму коэффициентов дисконтирования в виде следующей схемы:
А1 = l1
А1 = l1 +l2
А1 = l1 +l2 + l3
. . .
Аn = l1 +l2 + . . . + ln
и используем такой подход для ответа на вопрос примера 4.6.
Пример 4.6.Плата за обучение в вузе распределена по периодам: конец 1-го года 1000 д. е., конец 2-го года - 1000 д.е.; конец 3-го года 1200 д. е.; конец 4-го года - 1200 д. е.; конец 5-го года - 1200 д. е. Найти необходимый размер первоначального вклада, достаточного для указанных платежей, если банковская ставка - 10 % годовых?
Платежи меняются по годам, поэтому используя специальные таблицы ( ) коэффициентов аннуитета факторов аннуитета (коэффициентов
r=0,10
приведения годовой ренты) за первые два года при r = 0,1; А2 = 1,735537.
r=0,1
Коэффициент аннуитета за первые пять лет равен А5 = 3,79079, следователь-
r=0.1 r=0,1
но за последние три года коэффициент аннуитета составит А5 - А3 = 3,79079 - 1,735537 = 2,055253. Текущая приведенная стоимость складывается из двух составляющих: 1000* 1,735537 (за первые два года) и 1200*2,055253 (за последние три года), если 1735,5 + 2466,3 = 4201,8 д. е. Если в начале первого года поместить в банк сумму в 4201,8 д. е. под 10 % годовых, ее будет достаточно для оплаты обучения.
Пример 4.7. Для финансирования нового оборудования предполагается взять кредит в сумме 110 млн. р. под 100 % годовых с условием выплат равными долями в течение четырех лет.
Поставлены задача определить обязательный периодический платеж по кредиту, включающий процент и выплату части основной суммы и позволяющий погасить кредит в течение установленного срока. Поскольку процесс погашения (ликвидации) долга с течением времени называют амортизацией. Математически взнос на амортизацию кредита определяется как отношение одного платежа к основной сумме кредита. То взнос на амортизацию единицы показывает, каким будет обязательный периодический платеж по кредиту, включающий процент и выплату части основной суммы и позволяющий погасить процент в течение установленного срока. Из формулы /4.5/ получим