Для характеристики середнього значення ознаки у варіаційних рядах розподілу обчислюють так звані порядкові середні, моду і медіану.
Мода – це варіанта, яка найчастіше зустрічається у даному варіаційному ряду.
Медіана – це варіанта, яка припадає на середину варіаційного ряду. Якщо кількість членів ряду парна, то медіана дорівнює середній арифметичній із двох серединних значень варіант.
Таблиця 4. Обчислені значення моди і медіани
| Показники господарств | Мода | Медіана |
| Середня урожайність, ц/га | 43,8 | 40,2 |
| Внесено органічних добрив т/га | 5,7 | 7,1 |
| Якість грунтів, бал | 83 | 81 |
Середні величини дають узагальнюючу характеристику сукупностей за варіюючою ознакою. Проте при тому самому середньому значенні ознаки, що визначається, окремі сукупності істотно різняться за складом і величиною відхилень від середньої. Вивчення розміру відхилень та їх розподілу використовують для оцінки кількісної однорідності сукупності. Вимірювання і аналіз варіації має велике значення для оцінки стійкості досліджуваних явищ, а також впливу різних факторів на коливання ознак.
Таблиця 5. Формули розрахунку і розрахункові дані для обчислення показників варіації.
| Показники варіації | Формули для обчислення | Середня урожайність, ц/га | Внесено органічних добрив т/га | Якість грунтів, бал |
| Розмах варіації |
| 10,8000 | 3,3000 | 20,0000 |
| Середнє лінійне відхилення |
| 2,6288 | 0,8931 | 5,1040 |
| Дисперсія |
| 10,9720 | 1,0130 | 35,7856 |
| Середнє квадратичне відхилення |
| 3,3124 | 1,0065 | 5,9821 |
| Коефіцієнт варіації: по варіаційному розмаху; |
| 27,1766 | 47,6603 | 25,0376 |
| по середньому лінійному відхиленню; |
| 6,6150 | 12,8989 | 6,3896 |
| по середньому квадратичному відхиленню |
| 8,3352 | 14,5363 | 7,4889 |
б) за згрупованими даними
Особливо важливим при використанні методу групувань є визначення кількості груп і величини внтервалів, які показують мінімальне і максимальне значення ознаки для кожної групи. Групувальні ознаки можуть бути атрибутивними (якісними) або кількісними. До атрибутивних належать такі ознаки які не мають кількісного виразу і реєструються у вигляді текстового запису. Кількісні ознаки реєструються числом. Одні ознаки виражаються цілими числами – дискретні або перервні, інші ознаки можна позначати цілими і дробовими числами – безперервні ознаки.
Якщо групувальна ознака має плавний характер варіювання і застосовуються рівні інтервали, то кількість груп орієнтовано можна визначити за формулою американського вченого Стерджеса:
, де
n – кількість груп
N – чисельність сукупності.
На основі ранжированого ряду можна побудувати варіаційний ряд розподілу, проміжне аналітичне групування і, проаналізувавши їх, визначити кількість істотно відмінних і однорідних груп.
При групуванні за кількісною ознакою важливим є визначення величини інтервалу групування. Інтервалом групування називається різниця між максимальними і мінімальними значеннями ознаки в кожній групі.
За величиною інтервали поділяються на рівні і нерівні. Якщо варіація групувальної ознаки незначна, а розподіл одиниць сукупності має порівняно рівномірний характер то застосовують рівні інтервали. Довжину інтервалу при групуванні із застосуванням рівних інтервалів визначають за формулою:
, де
i – довжина інтервалу;
xmax – максимальна величина групувальної ознаки;
xmin – мінімальна величина групувальної ознаки;
n – кількість груп.
У статистичній практиці застосовують закриті і відкриті інтервали. Закритими називають інтервали, в яких відомі мінімальні і максимальні межі ознаки. Відкритими називають інтервали, в яких невідомі мінімальні і максимальні межі. Відкритими можуть бути перший і останній ряд.
Зробимо групування заданої сукупності господарств за урожайністю зернових культур.
Таблиця 6. Розподіл господарств за урожайністю зернових
| Інтервал | Кількість господарств | Середина інтервалу | |
| 33,0 | 35,2 | 3 | 34,08 |
| 35,2 | 37,32 | 3 | 36,24 |
| 37,32 | 39,48 | 1 | 38,4 |
| 39,48 | 41,64 | 9 | 40,56 |
| 41,64 | 43,8 | 9 | 42,72 |
Гістограма ряду розподілу за даними таблиці 6 (Додаток 4).
Обчислимо середні величини для згрупованого ряду розподілу і перевіримо математичні властивості середньої арифметичної.
Таблиця 7. Середні величини для згрупованого ряду розподілу
| Показник | Зважені середні величини | |||
| господарства | гармонійна | геометрична | арифметична | квадратична |
| Урожайність зернових ц/га | 39,719 | 39,840 | 39,955 | 40,065 |
Середня арифметична має певні математичні властивості:
Таблиця 8. Перевірка математичних властивостей для середньої арифметичної
| Інтервал | Ni | Yi | Yi×Ni | Ni×K (K=2) | Yi×Ni×K | (Yi-A) ×Ni (A=3) | C×Yi×Ni (C=2) | (Yi-Yсер)×Ni | |
| 33 | 35,16 | 3 | 34,08 | 102,24 | 6 | 204,48 | 93,24 | 204,48 | -17,6256 |
| 35,16 | 37,32 | 3 | 36,24 | 108,72 | 6 | 217,44 | 99,72 | 217,44 | -11,1456 |
| 37,32 | 39,48 | 1 | 38,4 | 38,4 | 2 | 76,8 | 35,4 | 76,8 | -1,5552 |
| 39,48 | 41,64 | 9 | 40,56 | 365,04 | 18 | 730,08 | 338,04 | 730,08 | 5,4432 |
| 41,64 | 43,8 | 9 | 42,72 | 384,48 | 18 | 768,96 | 357,48 | 768,96 | 24,8832 |
| Разом | 998,88 | 50 | 1997,76 | 923,88 | 1997,76 | 1,35E-13 | |||
1) Якщо всі частоти ряду розподілу зменшити або збільшити в К‑разів, то середня арифметична при цьому не зміниться.
2) Якщо всі значення варіюючої ознаки зменшити або збільшити на одну й ту саму величину, то й середня арифметична зменшиться або збільшиться на ту ж саму величину.
3) Якщо всі значення варіюючої ознаки зменшити або збільшити в одне й те ж число раз, то й середня арифметична зменшиться або збільшиться в таке ж число раз.
4) Сума відхилень окремих значень варіюючої ознаки від середньої арифметичної дорівнює нулю.
До характеристик центру розподілу крім середньої арифметичної належить мода і медіана. В інтервальному ряді розподілу легко відшукати модальний інтервал, а сама мода визначається за формулою:
, де
у0 – нижня межа модального інтервалу;
h – крок (ширина) інтервалу;
nm – частота модального інтервалу;
nm-1 – частота інтервалу, який передує модальному;
nm+1 – частота інтервалу який слідує за модальним.
Медіана в інтервальному ряді розподілу одчислюється за такою формулою:
, де
у0 – нижня межа медіального інтервалу;
– половина об’єму сукупності;
Sn-1 – сума всіх частот, що передують медіальному інтервалу;
nme – частота медіанного інтервалу.
Таблиця 9. Обчислені показники моди і медіани для згрупованих даних за урожайністю
| Показник господарства | Мода | Медіана |
| Урожайність зернових, ц/га | 41,64 | 40,8 |
Статистичні характеристики центру розподілу (середня, мода, медіана) відіграють важливу роль у вивченні статистичних сукупностей. Інколи індивідуальні значення ознаки значно відхиляються від центру розподілу, інколи – тісно групуються навколо нього, а відтак виникає потреба оцінити міру і ступінь варіації.
Таблиця 10. Обчислення показників варіації
| Показники варіації | Формули для обчислення | Середня урожайність, ц/га |
| Розмах варіації |
| 10,8000 |
| Середнє лінійне відхилення |
| 2,426 |
| Дисперсія |
| 662,89 |
| Середнє квадратичне відхилення |
| 25,74 |
| Коефіцієнт варіації: по варіаційному розмаху; |
| 27,1766 |
| по середньому лінійному відхиленню |
| 6,6150 |
| по середньому квадратичному відхиленню |
| 8,3352 |
Тепер згрупуємо господарства по внесенню органічних добрив. Знайдемо для цієї сукупності середні величини, перевіримо властивості середньої арифметичної, знайдемо моду і медіану для згрупованого ряду розподілу і обчислимо показники варіації.