Часткові коефіцієнти кореляції характеризують щільність зв’язку результативної ознаки з однією факторною ознакою при умові, що інші факторні ознаки перебувають на постійному рівні.
Коефіцієнт множинної (сукупної) детермінації показує, яка частка варіації досліджуваного результативного показника зумовлена впливом факторів, включених у рівняння множинної регресії.
Основним показником щільності зв’язку при множинній кореляції є коефіцієнт множинної кореляції. Він повинен бути найбільшим серед всіх інших коефіцієнтів множинної кореляції.
Таблиця 3. Вихідні та розрахункові дані для обчислення множинної кореляції
| № | Врожайність | Добрива | Якість грунту | Розрахункові величини | |||||
| п/п | Y | X1 | X2 | X12 | X22 | Y2 | X1×X2 | X1×Y | X2×Y |
| 1 | 33,4 | 5,8 | 74 | 33,64 | 5476 | 1115,56 | 429,2 | 193,72 | 2471,6 |
| 2 | 39,6 | 5,7 | 83 | 32,49 | 6889 | 1568,16 | 473,1 | 225,72 | 3286,8 |
| 3 | 39,8 | 8,0 | 83 | 64,00 | 6889 | 1584,04 | 664,0 | 318,40 | 3303,4 |
| 4 | 36,4 | 5,6 | 85 | 31,36 | 7225 | 1324,96 | 476,0 | 203,84 | 3094,0 |
| 5 | 37,6 | 5,2 | 84 | 27,04 | 7056 | 1413,76 | 436,8 | 195,52 | 3158,4 |
| 6 | 39,6 | 5,7 | 83 | 32,49 | 6889 | 1568,16 | 473,1 | 225,72 | 3286,8 |
| 7 | 40,2 | 7,3 | 87 | 53,29 | 7569 | 1616,04 | 635,1 | 293,46 | 3497,4 |
| 8 | 42,4 | 7,1 | 82 | 50,41 | 6724 | 1797,76 | 582,2 | 301,04 | 3476,8 |
| 9 | 40,2 | 6,7 | 75 | 44,89 | 5625 | 1616,04 | 502,5 | 269,34 | 3015,0 |
| 10 | 40,6 | 7,5 | 74 | 56,25 | 5476 | 1648,36 | 555,0 | 304,50 | 3004,4 |
| 11 | 42,2 | 7,0 | 70 | 49,00 | 4900 | 1780,84 | 490,0 | 295,40 | 2954,0 |
| 12 | 43,8 | 8,2 | 81 | 67,24 | 6561 | 1918,44 | 664,2 | 359,16 | 3547,8 |
| 13 | 43,8 | 8,2 | 87 | 67,24 | 7569 | 1918,44 | 713,4 | 359,16 | 3810,6 |
| 14 | 43,1 | 7,7 | 80 | 59,29 | 6400 | 1857,61 | 616,0 | 331,87 | 3448,0 |
| 15 | 35,9 | 5,7 | 69 | 32,49 | 4761 | 1288,81 | 393,3 | 204,63 | 2477,1 |
| 16 | 40,6 | 6,9 | 86 | 47,61 | 7396 | 1648,36 | 593,4 | 280,14 | 3491,6 |
| 17 | 43,0 | 7,8 | 79 | 60,84 | 6241 | 1849,00 | 616,2 | 335,40 | 3397,0 |
| 18 | 43,0 | 7,8 | 79 | 60,84 | 6241 | 1849,00 | 616,2 | 335,40 | 3397,0 |
| 19 | 33,0 | 5,8 | 72 | 33,64 | 5184 | 1089,00 | 417,6 | 191,40 | 2376,0 |
| 20 | 40,0 | 7,4 | 88 | 54,76 | 7744 | 1600,00 | 651,2 | 296,00 | 3520,0 |
| 21 | 42,2 | 8,5 | 83 | 72,25 | 6889 | 1780,84 | 705,5 | 358,70 | 3502,6 |
| 22 | 33,4 | 5,9 | 70 | 34,81 | 4900 | 1115,56 | 413,0 | 197,06 | 2338,0 |
| 23 | 40,0 | 7,4 | 89 | 54,76 | 7921 | 1600,00 | 658,6 | 296,00 | 3560,0 |
| 24 | 35,9 | 6,0 | 73 | 36,00 | 5329 | 1288,81 | 438,0 | 215,40 | 2620,7 |
| 25 | 43,8 | 8,2 | 81 | 67,24 | 6561 | 1918,44 | 664,2 | 359,16 | 3547,8 |
| Разом | 993,5 | 173,1 | 1997 | 1223,87 | 160415 | 39755,99 | 13877,8 | 6946,14 | 79582,8 |
| Середні | 39,74 | 6,92 | 79,88 | 48,95 | 6416,60 | 1590,24 | 555,11 | 277,85 | 3183,31 |
Перевіримо передумови:
1. Vx2 = 7,488 %; Vx1 = 14,536 %; Vy = 8,336 %.
Варіація достатня по ряду Х1, але недостатня по рядах Х2 і У.
2. gХ2min= 1,818 < 3; gХ2max= 1,524 < 3;
gХ1min= 1,71 < 3; gХ1max= 1,565 < 3
gymin= 2,035 < 3; gymax= 1,225 < 3.
Сукупність однорідна по всіх рядах розподілу.
Розглянемо лінійну множинну залежність:
Yх1х2 = а1 + а1x1 + а2x2, складемо і розв’яжемо систему нормальних рівнянь,
na0 + a1åx1 + a2åx2 = åy
a0åx1 + a1åx12 + a2åx1x2 = åyx1
a0åx2 + a1åx1x2 + a2åx22 = åyx2
25a0 + 173,1a1 + 1997a2 = 993,5
173,1a0 + 1223,87a1 + 13877,8a2 = 6946,14
1997a0 + 13877,8a1 + 160415a2 = 79582,8.
Для цього ми використаємо метод Жордана-Гаусса:
| a0 | a1 | a2 | 1 |
| 25 | 173,1 | 1997 | 993,5 |
| 173,1 | 1223,87 | 13877,8 | 6946,14 |
| 1997 | 13877,8 | 160415 | 79582,8 |
| 1 | 6,924 | 79,88 | 39,74 |
| 0 | 25,3256 | 50,572 | 67,146 |
| 0 | 50,572 | 894,64 | 222,02 |
| 1 | 0 | 66,05365 | 21,38233 |
| 0 | 1 | 1,996873 | 2,651309 |
| 0 | 0 | 793,6542 | 87,93798 |
| 1 | 0 | 0 | 14,0635 |
| 0 | 1 | 0 | 2,430053 |
| 0 | 0 | 1 | 0,110801 |
a0= 14,0635; a1= 2,430053; a2= 0,110801.
Рівняння залежності врожайності від внесення органічних добрив і якості грунтів:
Ух1х2 = 14,0635 + 2,430053×х1 + 0,110801×х2
Параметри a1, a2 – називаються частковими коефіцієнтами регресії. Вони показуютьпропорцію впливу даного фактора на результат при умові, що інші фактори зафіксовані на постійному середньому рівні. При додатковому внесенню 1 ц органічних добрив, в перерахунку на діючу речовину, врожайність зросте в середньому на 2,43 ц/га, при умові що x2 невпливає на врожайність. При збільшенні якості грунту на 1 бал врожайність зростає на 0,11 ц/га незалежно від дії органічних добрив.
Обчислемо показники щільності зв’язку при множинній кореляції:
1. Прості або парні коефіцієнти кореляції.
Між урожайністю зернових культур і внесенням органічних добрив:
ryx1 = 0,805615.
Між урожайністю зернових культур і якістю грунтів:
ryx2= 0,448182.
Між органічними добривами і якістю грунтів:
rx1x2 = 0,335974.
Обчислені парні коефіцієнти кореляції показують, що урожайність зернових культур перебуває у щільному зв’язку з внесенням органічних добрив (» 0,806), і у слабкому зв’язку з якістю грунтів (0,448). Існує слабка залежність між факторними ознаками: якістю грунтів і органічними добривами.
2. Часткові крефіцієнти кореляції.
Між ознаками У та Х1 без урахування впливу ознаки Х2:
ryx1(x2)= 0,777974.
Між ознаками У та Х2 без урахування впливу ознаки Х1:
ryx2(x1) = 0,318129.
Ми бачимо, що внесення органічних добрив в більшій мірі впливає на урожайність зернових культур.
3. Множинний коефіцієнт кореляції.
R = 0,827367
Д = R2 = 0,6845369 або » 68,45 %
Отже врожайність зернових культур на 68,45 % обумовлена впливом внесення органічних добрив і якості грунтів, і лише на 31,55 % – впливом неврахованих факторів, метеорологічними умовами, сортом, строками сівби.
4. Часткові і множинний коефіцієнти детермінації.
dyx1= 59,48 %
dyx2= 8,97 %
Д = dyx1 + dyx2
Визначивши часткові коефіцієнти детермінації ми можемо сказати, що урожайність зернових культур у досліджуваних господарствах на 59,48 % обумовлена внесенням органічних добрив і на 8,97 % – якістю грунтів.
Перевіримо суттєвість множинного коефіцієнта детермінації. Для цього використаємо F-критерій.
FR2=23,86937
F0,95(2;22)=3,44
FR2 > F0,95(2;22)
Фактичне значення перевищує критичне, тому суттєвість результативної ознаки з обома факторами доказана.
Перевіримо істотність коефіцієнта множинної кореляції за t-критерієм.
tR=R/SR=12,8486
SR=0,0644
t0,95=2,0739.
tR > t0,95, отже коефіцієнт множинної кореляції істотний.
Оцінимо суттєвість коефіцієнтів регресії за t-критерієм.
mа1=0,36969; t а1=6,573224.
mа2=0,0622; t а2=1,781362.
t0,95=2,0739.
t а1 > t0,95; t а2 < t0,95.
Ми оцінили суттєвість коефіцієнтів регресії і можемо сказати, що коефіцієнт а1 є достовірним, тобто суттєво впливає на урожайність, а коефіцієнт а2 не суттєво впливає на урожайність.
Звичайний кореляційний аналіз вимагає виконання деяких передумов. Коли ці передумови не виконуються то застосовують методи непараметричної кореляції, при яких не використовують параметрів досліджувальних ознак. Методи непараметричної кореляції важливо використовувати на початкових стадіяї дослідження, щоб відділити не досить важливі фактори. Якщо із кількох факторів потрібно відібрати найважливіші, то спочатку кожен фактор досліджують методом непараметричної кореляції і відбирають найсуттєві. Всі коефіцієнти непараметричної кореляції є наближеними і поступаються перед звичайними коефіцієнтами кореляції. При вимірюванні зв’язків між ознаками порядкової шкали використовують коефіцієнт рангової кореляції. Розрахунок його грунтується на різниці рангів d=Rx-Ry, де Rx, Ry – ранги елементів сукупності за першою і другою ознаками. Його обчислюють за формулою Спірмена: