Модели выбора оптимального портфеля ценных бумаг (стр. 5 из 7)

Например, случайную погрешность ценной бумаги А можно рассматривать как переменную, связанную с колесом рулетки, на котором равномерно расположены целые значения от -10% до +10%⁷. Это означает, что существует 21 возможный результат вращения колеса рулетки, каждый из которых равновероятен. Отсюда следует, что при заданном наборе чисел среднее значение случайной погрешности равняется нулю:

[ -10 х 1/₂₁] + [-9 х 1/₂₁] + ... + [9 х 1/₂₁] + [Ю х i_/21] = 0.

Можно заметить, что данное вычисление представляет собой сумму произведений всех возможных результатов на вероятность их появления. Теперь можно показать, что стандартное отклонение данной случайной погрешности равняется 6,06%:

{[(-10 - 0)² х 1/₂₁] + (-9 - 0)

х 1/₂₁] + ... + [(9 - 0) х 1/21,] +
+ [(10 - 0)² х 1/₂₁]}^1/2 = 6,06.

Данное вычисление включает в себя вычитание среднего значения из каждого возможного результата, затем возведение в квадрат каждой из этих разностей, умножение каждого квадрата на вероятность получения соответствующего результата, суммирование произведений и, наконец, извлечение квадратного корня из результирующей суммы.

Рисунок 9 представляет колесо рулетки, соответствующее этой случайной погрешности. В общем случае случайные погрешности ценных бумаг соответствуют рулеткам с другими крайними значениями и другими неравномерными интервалами между значениями. Хотя все они имеют математическое ожидание, равное нулю, стандартные отклонения у них могут быть различными. Например, ценная бумага В может иметь случайную погрешность с нулевым ожидаемым значением и стандартным отклонением, равным 4,76%⁸.

1.4. Графическое представление рыночной модели

Прямая линия в части (а) рис. 10 представляет собой график рыночной модели для ценной бумаги А. Уравнение прямой, построенной для ценной бумаги А, выглядит следующим образом:

По вертикальной оси отложена доходность ценной бумаги (r_A), а по горизонтальной оси доходность на рыночный индекс (r_I). Линия проходит через точку на вертикальной оси, соответствующую значению

, которое в данном случае составляет 2%. Линия имеет наклон, равный _AI, или 1,2.

Часть (б) рис. 10 представляет собой график рыночной модели ценной бумаги В. Уравнение данной прямой имеет следующий вид:

Эта линия идет из точки на вертикальной оси, связанной со значением α_ВI, которое в данном случае равняется –1%. Заметим, что наклон данной прямой равняется β_BI, или 0,8.

рис. 9. Случайная погрешность ценной бумаги А

рис. 10. Рыночная модель

«Бета»-коэффициент

Отметим, что наклон в рыночной модели ценной бумаги измеряет чувствительность ее доходности к доходности на рыночный индекс. Обе линии на рис. 10 имеют положительный наклон, показывающий, что чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше доходности этих ценных бумаг. Однако прямые имеют различный наклон. Это означает, что бумаги имеют различную чувствительность к доходности на индекс рынка. Точнее, А имеет больший наклон, чем В, показывающий, что доходность А является более чувствительной к доходности на рыночный индекс, чем доходность В.

Предположим, что ожидаемая доходность на рыночный индекс составляет 5%. Тогда если фактическая доходность на рыночный индекс составит 10%, то она превысит на 5% ожидаемую доходность. Часть (а) рис. 10 показывает, что доходность ценной бумаги А должна превысить изначально ожидаемую доходность на 6% (14% - 8%). Аналогично, часть (б) показывает, что доходность ценной бумаги В должна превысить изначально ожидаемую доходность на 4% (7% - 3%). Причиной разности в 2% (6% - 4%) является тот факт, что ценная бумага А имеет больший наклон, чем ценная бумага В, т.е. А является более чувствительной к доходности на рыночный индекс, чем В.

Коэффициент наклона рыночной модели часто называют «бета»-коэффициентом (beta) и вычисляют так:

где

обозначает ковариацию между доходностью акции i и доходностью на рыночный индекс, а обозначает дисперсию доходности на индекс. Акция, которая имеет доходность, являющуюся зеркальным отражением доходности на индекс, будет иметь «бета»-коэффициент, равный 1 (ему соответствует рыночная модель следующего вида: r_i=r_I+ _iI). То есть акции с «бета»-коэффициентом больше единицы (такие, как А) обладают большей изменчивостью, чем рыночный индекс, и носят название «агрессивные» акции (aggressivestocks). И наоборот, акции с «бета»-коэффициентом меньше единицы (такие, как В) обладают меньшей изменчивостью, чем рыночный индекс, и называются «оборонительными» акциями (defensivestocks).

Действительные доходности

Случайная погрешность позволяет сделать предположение, что при данной доходности на рыночный индекс действительная доходность ценной бумаги обычно лежит вне прямой, задаваемой уравнением рыночной модели. Если действительные доходности на ценные бумаги А и В составляют 9 и 11% соответственно, а действительная доходность на индекс составляет 10%, то можно заметить, что действительные доходности на А и В состоят из трех следующих компонентов:

Ценная бумага А	Ценная бумага В
Координаты точки пересечения	2%	-1%
Произведение действительной доходности на рыночный индекс и «бета»-коэффициента	12%=10%*1,2	8%=10%*0,8
Величина случайной погрешности	-5%=9%-(2%+12%)	4%=11%-(-1%+8%)
Действительная доходность	9%	11%

В данном случае можно просто сказать, что мы «прокрутили» колесо рулетки для А и В ив результате этого действия получили значения (которые являются значениями случайной погрешности) –5% для А и +4% для В. Можно заметить, что данные значения равняются вертикальным расстояниям, на которые действительные доходности ценных бумаг отклоняются от прямой линий рыночной модели, как это показано на рис.11.

рис.11. Рыночная модель и действительные доходности

1.5.Диверсификация

Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией и обозначенный как

состоит из двух частей: рыночный (или систематический) риск marketrisk);собственный (или несистематический) риск (uniquerisk).

Общий риск портфеля, измеряемый дисперсией его доходности выражается:

Общий риск портфеля состоит из двух компонентов, аналогичных двум компонентам общего риска отдельных ценных бумаг. Эти компоненты также носят название рыночного риска (

) и собственного риска( ).

Рыночный риск портфеля

В общем случае можно заметить, что чем более диверсифицирован портфель (т.е. чем большее количество ценных бумаг внего входит), тем меньше каждая доля Х_i. При этом значение

не меняется существенным образом, за исключением случаев преднамеренного включения в портфель ценных бумаг с относительно низким или высоким значением «беты». Так как «бета» портфеля является средним значением «беты» ценных бумаг, входящих в портфель, то нет оснований предполагать, что увеличение диверсификации портфеля вызовет изменение «беты» портфеля и, таким образом, рыночного риска портфеля в какую-либо сторону. Таким образом, можно утверждать, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска.

Этот вывод имеет важное значение, так как в случае плохого или хорошего экономического прогноза большинство ценных бумаг упадут или соответственно возрастут в цене. Несмотря на уровень диверсификации портфеля, всегда можно ожидать, что такие рыночные явления будут влиять на доходность портфеля.

Собственный риск портфеля

Совершенно другая ситуация возникает при рассмотрении собственного риска портфеля. В портфеле некоторые ценные бумаги могут возрасти в цене в результате распространения неожиданных хороших новостей, касающихся компаний, эмитировавших данные ценные бумаги (например, о приобретении патента). Другие ценные бумаги упадут в цене в результате распространения неожиданных плохих новостей, относящихся к данным компаниям (например, об аварии). В будущем можно ожидать, что количество компаний, о которых станут, известны какие-либо хорошие новости, приблизительно будет равняться количеству компаний, о которых станут известны какие-либо плохие новости, что приведет к небольшому ожидаемому чистому воздействию на доходность хорошо диверсифицированного портфеля. Это означает, что чем больше диверсифицируется портфель, тем меньше становится собственный риск и, следовательно, общий риск.Диверсификация существенно уменьшает собственный риск.