Модели выбора оптимального портфеля ценных бумаг (стр. 6 из 7)

Проще говоря, портфель, состоящий из 30 или более случайно выбранных ценных бумаг, будет иметь относительно низкую величину собственного риска. Это означает, что общий риск будет ненамного больше величины имеющегося рыночного риска. Таким образом, указанные портфели являются хорошо диверсифицированными. Рисунок 12 показывает, как диверсификация приводит к снижению собственного риска и усреднению рыночного риска.

Пример

Рассмотрим две ценные бумаги А и В, о которых шла речь ранее. Эти бумаги имеют коэффициенты «бета», равные 1,2 и 0,8 соответственно; стандартные отклонения их случайных погрешностей составляют 6,06 и 4,76%. Таким образом, из заданных значений

_еА = 6,06% и _еB = 4,76% следует, что ²_еА=6,06² = 37 и ²_еB = 4,76² = 23. Теперь предположим, что стандартное отклонение рыночного индекса у_I составляет 8%. Это подразумевает, что дисперсия рыночного индекса равняется 8², или 64. Значения дисперсии для ценных бумаг А и В:

рис. 12. Риск и диверсификация

Рассмотрим комбинацию ценных бумаг А и В в портфеле, образованном вложением равного количества денег инвестора в каждую ценную бумагу. То есть рассмотрим портфель, в котором Х_А = 0,5 и ХВ = 0,5. Так как

_AI= 1,2 и _BI = 0,8, то «бета» данного портфеля может быть вычислена с помощью уравнения:

pI = (0,5 х 1,2) + (0,5x0,8) = 1,0.

Можно вычислить дисперсию случайного отклонения портфеля

:

2_еp = (0,5² * 37) + (0,5² * 23) = 15

Из уравнения (8.11а) видно, что портфель будет иметь следующую дисперсию:

2_p = (1,0² х 64) + 15 = 79.

Данное выражение представляет общий риск портфеля, состоящего из двух ценных бумаг.

2. модель марковица

Определение структуры и местоположения эффективного множества

Существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, которые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Марковица представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие2. бесконечного числа точек на ней. Это означает, что существует бесконечное количество эффективных портфелей. Метод решения включает в себя алгоритм квадратического программирования, известный как метод критических линий (critical-linemethod).

Рассмотрим портфель из трех акций. Проведем оценку вектора ожидаемых доходностей, обозначенного как ER, и ковариационной матрицы, обозначенной как VС:

16,2 146 187 145

ER = 24,6 VC = 187 854 104

22,8 145 104 289

Затем через алгоритм определяется количество «угловых» портфелей, которые связаны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество. «Угловой» портфель — это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя «угловыми» портфелями. Данное утверждение можно проиллюстрировать примером.

Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей ожидаемой доходностью. Данный портфель соотносится с точкой Sна рис. 1 и является эффективным портфелем. Он состоит только из одной ценной бумаги с наибольшей ожидаемой доходностью. То есть если инвестор хочет приобрести данный портфель, все, что он должен сделать, это купить акции компании с наивысшей ожидаемой доходностью. Любой другой портфель будет иметь меньшую ожидаемую доходность, так как в конечном счете часть фондов инвестора будет помещена в акции других компаний, имеющих ожидаемую доходность ниже S.

Например, компанией, акции которой наиболее доходны, является компания Baker. Соответствующим эффективным портфелем будет первый «угловой» портфель, определенный алгоритмом. Его состав описывается следующим вектором весов, обозначенным Х(1):

0,00

Х(1) = 1,00

0,00

Его ожидаемая доходность и стандартное отклонение связаны только с ожидаемой доходностью и стандартным отклонением акций Bakerи соответственно составляют 24,6% и (854)^1/2, или 29,22%. На рис. 13 данный «угловой» портфель обозначен как С(1).

Затем алгоритм определяет второй «угловой» портфель. Данный портфель располагается на эффективном множестве ниже первого «углового» портфеля. Его состав определяется следующим вектором весов, обозначенным Х(2):

0,00

Х(2) = 0,22

0,78

То есть второй «угловой» портфель представляет собой портфель, в котором инвестор вкладывает 22% своих фондов в обыкновенные акции компании Baker, a 78% в обыкновенные акции компании Charlie. Ожидаемую доходность и стандартное отклонение данного «углового» портфеля, которые составляют соответственно 23,20 и 15,90%. На рис. 13 данный «угловой» портфель обозначен как С(2).

Говоря о первом и втором «угловых» портфелях, важно отметить, что они являются смежными эффективными (adjacent) портфелями и любой эффективный портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя данными, будет представлять собой просто комбинацию их составов. Например, эффективный портфель, лежащий посередине между ними, будет иметь следующий состав:

0,00 0,00 0,00

[0,5*Х(1)] + [0,5*Х(2)] = 0,5* 1,00 + 0,5* 0,22 = 0,61

0,00 0,78 0,39

рис. 8.13. «Угловые» портфели

Таким образом, веса распределены следующим образом: 0,61 — в акции Bakerи 0,39 — в акции Charlie. Ожидаемую доходность и стандартное отклонение данного портфеля составляют 23,9 и 20,28% соответственно.

Определив второй «угловой» портфель, алгоритм затем определяет третий. Он имеет следующий состав:

0,84

Х(3) = 0,00

0,16

Эти веса теперь могут быть использованы для вычисления ожидаемой доходности и стандартного отклонения данного портфеля, которые равны соответственно 17,26 и 12,22%. Как и два предыдущих, данный «угловой» портфель является эффективным и обозначается С(3) на рис. 13.

Поскольку второй и третий портфели являются смежными, то любая их комбинация является эффективным портфелем, лежащим в эффективном множестве между двумя данными. Например, если инвестор вкладывает 33% своих фондов во второй «угловой» портфель, а 67% — в третий, то в результате получается эффективный портфель со следующим составом:

0,00 0,84 0,56

[0,33*Х(2)] + [0,67*Х(3)] = 0,33* 0,22 + 0,67* 0,00 = 0,07

0,78 0,16 0,36

Данный портфель имеет ожидаемую доходность 19,10% и стандартное отклонение 12,88%.

Комбинация «угловых» смежных портфелей может дать эффективный портфель. Это означает, что портфели, представляющие собой комбинацию двух несмежных «угловых» портфелей, не будут принадлежать эффективному множеству. Например, первый и третий «угловые» портфели не являются смежными, следовательно, любой портфель, представляющий собой комбинацию двух данных, не будет являться эффективным. Например, если инвестор вложит 50% своих фондов в первый «угловой» портфель, и 50% — в третий, то результирующий портфель будет иметь следующий состав:

0,00 0,84 0,42

[0,5*Х(1)] + [0,5*Х(3)] = 0,5* 1,00 + 0,5* 0,22 = 0,50

0,00 0,16 0,08

При данных весах ожидаемая доходность и стандартное отклонение данного портфеля равны 20,93 и 18,38% соответственно. Однако это неэффективный портфель. Так как его ожидаемая доходность (20,93%) лежит между ожидаемой доходностью второго (23,20%) и третьего (17,26%) «угловых» портфелей, то с помощью комбинации этих двух смежных портфелей инвестор имеет возможность сформировать эффективный портфель, имеющий такую же ожидаемую доходность, но меньшее стандартное отклонение.

Далее алгоритм определяет состав четвертого «углового» портфеля:

0,99

Х(4) = 0,00

0,01

Ожидаемая доходность и стандартное отклонение, равны 16,27% и 12,08% соответственно. Определив данный портфель, соответствующий точке Ј на рис. 1 (и С(4) на рис. 13), имеющий наименьшее стандартное отклонение из всех достижимых портфелей, алгоритм останавливается. Четыре «угловых» портфеля, объединенных в табл. 1, полностью описывают эффективное множество, связанное с акциями Able, Bakerи Charlie.

Изображение графика данного эффективного множества является простой задачей для компьютера, обладающего высокими графическими возможностями. Он может определить состав и соответственно ожидаемые доходности и стандартные отклонения каждого из 20 эффективных портфелей, равномерно распределенных между первым и вторым «угловыми» портфелями. Затем он последовательно соединит отрезками точки, соответствующие данным портфелям. Это придаст графику вид изогнутой линии, показанной на рис. 13, так как данные портфели расположены близко друг к другу.