Вычисление стаистических показателей (стр. 3 из 4)
Определяем индекс цен постоянного состава:
Определяем индекс структурных сдвигов:
Взаимосвязь между индексами:
0,85 = 0,8905 ∙ 0,9545
Выводы:На основании полученных результатов по определенным индексам цен можно сделать следующие выводы:
– индекс переменного состава показывает, что средняя цена молока в городе проданного в государственной торговле и на колхозных рынках снизилась на 15%. Это снижение обусловлено изменением цены молока в каждом месте продажи и изменением удельного веса выпускаемого молока. Для того, что бы выявить влияние каждого из этих факторов на динамику средней цены вычислялись индексы постоянного состава и индекс структурных сдвигов.
– индекс постоянного состава показывает, что средняя цена проданного молока уменьшилась на 11% в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения цены.
– индекс структурных сдвигов показывает, что средняя цена проданного молока уменьшилась на 4% в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет увеличения количества продаваемого молока.
ЗАДАЧА 5.
Имеются следующие данные о норме расхода сырья на единицу изделия:
Таблица 6.
| Расход сырья, г | Изготовлено изделий, шт. |
| До 20 | 8 |
| 20–22 | 15 |
| 22–24 | 50 |
| 24–26 | 20 |
| Свыше 26 | 7 |
| итого | 100 |
Определить:
1. Средний размер сырья на одно изделие;
2. Среднее линейное отклонение;
3. Дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
4. Коэффициент вариации.
Сделайте выводы.
Теоретическое обоснование
Расчет дисперсии – производят по формуле:
σ2 = Σ (xi- x)2 ∙ fi / Σ fi
Следовательно, прежде всего необходимо найти отклонения вариант от средней (xi- xi), затем возвести их в квадрат ([(xi- xi)2]) квадраты отклонения взвесить [(xi - xi)2∙ fi] и просуммировать взвешенные квадраты отклонений [Σ (xi- xi)2 ∙ fi.]. Полученную сумму разделить на сумму частот (2).
Среднее квадратическое отклонение устанавливают извлечением корня квадратного из значения дисперсии
σ= √ σ2
Расчет средней, дисперсии и среднего квадратического отклонение производя по формулам указанным выше. Однако в качестве вариант в задачах приведены так называемые «открытые» варианты. В начале следует закрыть варианты, а затем, найдя полу сумму интервалов, ввести их в программу в виде усредняемых значений признака xi и fi – частоты повторения каждой варианты.
Среднее линейное отклонение L– есть средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней и определяется по формуле:
L=(S(Xi-X)*fi)/Sfi
Согласно формуле в начале находят абсолютные отклонения каждой варианты от средней ((Xi-X), а затем каждое абсолютное отклонение взвешивают ((Xi-X)*fi), суммируют взвешенные абсолютные отклонения (S(Xi-X)*fi) и это суммы делят на сумму частот (Sfi).
РЕШЕНИЕ
Для упрощения решения представим его в виде таблицы и для нахождения средней и дисперсии воспользуемся способом моментов:
Таблица 7.
| Расход сырья на 1‑цу изделия, г. | Изготовлено изделий, шт. | Середина интервала. | |Х-Х|·f | (X – A) | (X – A)i | (Х – А)·fi | (Х – А) 2i2 | (X – A) 2 ·fi2 |
| До 20 | 8 | 19 | 32 | -4 | -2 | -16 | 4 | 32 |
| 20 – 22 | 15 | 21 | 30 | -2 | -1 | -15 | 1 | 15 |
| 22 – 24 | 50 | 23 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 24 – 26 | 20 | 25 | 40 | 2 | 1 | 20 | 1 | 20 |
| Свыше 26 | 7 | 27 | 28 | 4 | 2 | 14 | 4 | 28 |
| Итого | 100 | å |Х-Х| · f=130 | å(X-A)·f/ i =3 | å((X – A) / i) 2·f =95 |
Для нахождения средней и дисперсии воспользуемся способом моментов:
Х=m1 · i +A; s2 = i 2 (n ·(m2 – m1 2);
m1= å((X – A) ·f / i))/åf; m2= å((X – A) / i) 2·f)/åf;
где
m1, m2 – соответственно моменты первого и второго порядка;
i – величина интервала;
А – варианта, имеющая наибольшую частоту;
F – значение весов или частот каждой варианты.
Наиболее часто встречаются изделия с расходом сырья на единицу продукции =23 г. Значит А=23 (г.).
Определим величину интервала (визуально видно, что интервалы имеют равную величину):
I=22–20=24–22=26–24=2 (г.)
На основании расчетов представленных в таблице найдем Х и s2:
m1 = 3/100 = 0,03; m2= 95/100 = 0,95;
Х= 0,03 · 2 + 23= 23,06 (г.)
s2 = 4 · (0,95 – 0,03 2) = 3,8
Найдем среднее квадратическое отклонение:
s = √3,8 = 1,95 (г.)
2. Определим среднее линейное отклонение:
L= 130 / 100 = 1,3 (г.)
3. Определим коэффициент вариации:
V= 1,3 / 23,06 = 0,056 (5,6%).
Выводы: на основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:
– средний расход сырья на единицу изделия равен ≈ 23 г.
– среднее квадратическое отклонение показывает, что возможно отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения на 1,95 г., что составляет 5,6% (см. коэффициент вариации).
– среднее линейное отклонение также показывает возможное отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, но менее точно, чем среднее квадратическое отклонение, и составляет 1,3 г.
ЗАДАЧА 6
Для определения срока службы металлорежущих станков проведено 10%-е выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:
Таблица 8.
| Срок службы станков, лет | Число станков, шт. |
| До 4 | 11 |
| 4–6 | 24 |
| 6–8 | 35 |
| 8–10 | 25 |
| Свыше 10 | 5 |
| Итого | 100 |
Определить: с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых ожидается средний срок службы металлорежущих станков.
Теоретическое обоснование
Предельная ошибка выборки это показатель, характеризующий диапазон в котором по обе стороны от выборочной средней или выборочной доли расположатся значения генеральной доли или генеральной средней гарантируемые с определенной вероятностью.
Δ = t ∙ μ
Δ – величина предельной ошибки выборки
μ – величина средней ошибки выборки
t – коэффициент доверия которому соответствуют вероятности предельной ошибки выборки.
Величина вероятности соответствующие коэффициентам доверия устанавливаются математической статистикой. Вероятности 0,683 соответствует коэффициент доверия равным 1, вероятности 0,954 t = 2, вероятности 0,997 t = 3.
Бесповторная выборка это когда каждая из единиц после регистрации ее признаков обратно не возвращается и в дальнейшем отборе не участвует. При бесповторной выборке сокращается численность единиц участвующих в выборочном наблюдении, поэтому при определении ошибки выборочной средней и выборочной доли признака при бесповторном отборе должна быть учтена численность генеральной совокупности и доля выборки. Если численность генеральной совокупности обозначается через N, то доля выборочной совокупности n будет равна отношению n к N. Поэтому формула средней ошибки выборки будет выглядеть:
РЕШЕНИЕ
Решение представим в виде таблицы.
Таблица 9.
| Срок службы станков, лет | Число станков, шт. | Середина интервала. | х·f |  (х-х)2 | (х-х)2 ∙f |
| До 4 | 11 | 3 | 33 | 14,29 | 157,19 |
| 4–6 | 24 | 5 | 120 | 3,17 | 76,08 |
| 6–8 | 35 | 7 | 245 | 0,05 | 1,75 |
| 8–10 | 25 | 9 | 225 | 4,93 | 123,25 |
| Свыше 10 | 5 | 11 | 55 | 17,81 | 89,05 |
| Итого | 100 | 678 | 40,25 | 447,32 |
Определяем средний срок службы станков
Х = 678 ∙ 100 = 6,78
Определяем дисперсию
s2 = 447,32 / 100 = 4,47
Находим величину средней ошибки выборки
Величина предельной ошибки выборки будет равна
Δ = 3 ∙ 0,04 = 0,12
Выводы: с вероятностью 0,997 можно гарантировать, что средний срок службы металлорежущих станков в генеральной совокупности расположиться между 6,78–0,12 = 6,66 года и 6,78+0,12 = 6,9 года.
ЗАДАЧА 7
По данным задачи 1 для выявления тесноты связи между возрастом рабочих и оплатой труда вычислить коэффициент детерминации.
Теоретическое обоснование
Выполнение задания предусматривает расчет показателей, характеризующих случайную и систематическую вариации и их роли в общей вариации. Эти показатели широко используются на производстве при количественной оценке влияния различных факторов на те или иные показатели, осуществляемой с помощью дисперсионного анализа.
Исходя из этого правила, можно определить влияние случайной и систематической дисперсий на общую дисперсию, установить тесноту связи