Математические методы исследования операций в экономике (стр. 2 из 37)

a) суммарный объем капитала, который должен быть вложен, составляет $ 100 000;

b) доля средств, вложенная в один объект, не может превышать четверти от всего объема;

c) более половины всех средств должны быть вложены в долгосрочные активы (допустим, на рассматриваемый момент к таковым относятся активы со сроком погашения после 2004 г.);

d) доля активов, имеющих надежность менее чем 4 балла, не может превышать трети от суммарного объема.

Приступим к составлению экономико-математической модели для данной ситуации. Целесообразно начать процесс с определения структуры управляемых переменных. В рассматриваемом примере в качестве таких переменных выступают объемы средств, вложенные в активы той или иной фирмы. Обозначим их как х_А, х_В, х_C, х_D, х_Е, х_F. Тогда суммарная прибыль от размещенных активов, которую получит инвестор, может быть представлена в виде

На следующем этапе моделирования мы должны формально описать перечисленные выше ограничения a-d на структуру портфеля.

a) Ограничение на суммарный объем активов:

х_A + х_B + х_C + х_D + х_E + х_F ≤ 100 000. (2)

b) Ограничение на размер доли каждого актива:

х_A≤ 25 000, x_B≤ 25 000,x_C≤ 25 000,

x_D≤ 25 000,x_E≤ 25 000,x_F≤ 25 000. (3)

c) Ограничение, связанное с необходимостью вкладывать половину средств в долгосрочные активы:

x_B+ x_C ≥50 000. (4)

d) Ограничение на долю ненадежных активов:

х_C+ х_D ≤ 30 000. (5)

Наконец, система ограничений в соответствии с экономическим смыслом задачи должна быть дополнена условиями неотрицательности для искомых переменных:

х_A≥ 0, х_B≥ 0, х_С≥ 0, х_D ≥ 0, х_E≥ 0, х_F≥ 0. (6)

Выражения (1)-(6) образуют математическую модель поведения инвестора. В рамках этой модели может быть поставлена задача поиска таких значений переменных х_A, x_B, x_C, x_D, x_E, x_F, при которых достигается наибольшее значение прибыли (т. е. функции (1)) и одновременно выполняются ограничения на структуру портфеля активов (2)-(6).

Перейдем теперь к рассмотрению более общих моделей и задач.

Простейшая задача производственного планирования. Пусть имеется некоторый экономический объект (предприятие, цех, артель и т. п.), который может производить некоторую продукцию n видов. В процессе производства допустимо использование m видов ресурсов (сырья). Применяемые технологии характеризуются нормами затрат единицы сырья на единицу производимого продукта. Обозначим через а_i,j количество i-го ресурса(iÎ 1: m), которое тратится на производство единицы j-го продукта (jÎ1:n). Весь набор технологических затрат в производстве j-го продукта можно представить в виде вектора-столбца

а технологию рассматриваемого предприятия (объекта) в виде прямоугольной матpицы pазмеpности m на n:

Если j-й продукт производится в количестве x_j, то в рамках описанных выше технологий мы должны потратить a_1,jx_j первого ресурса,a_2,jx_j — второго, и так далее, a_m,jx_j - m-го. Сводный план производства по всем продуктам может быть представлен в виде n-мерного вектора-строки х = (х₁, х₂,...,х_j,...,х_n). Тогда общие затраты по i-му ресурсу на производство всех продуктов можно выразить в виде суммы

представляющей собой скалярное произведение векторов а^j и х. Очевидно, что всякая реальная производственная система имеет ограничения на ресурсы, которые она тратит в процессе производства. В рамках излагаемой модели эти ограничения порождаются m-мерным вектором b=(b₁,b₂,...,b_m), где b_i — максимальное количествоi-гo продукта, которое можно потратить впроизводственном процессе. В математической форме данные ограничения представляются в виде системы m неравенств:

Применяя правила матричной алгебры, систему (7) можно записать в краткой форме, представив левую часть как произведение матрицы А на вектор х, а правую — как вектор b:

К системе (8) также должны быть добавлены естественные ограничения на неотрицательность компонентов плана производства: х₁ ≥0,..., х_j ≥0, .... х_n ≥0, или, что то же самое,

Обозначив через с_jцену единицы j-го продукта, получим выражение суммарного дохода от выполнения плана производства, задаваемого вектором х:

Формулы (8)-(10) являются не чем иным, как простейшей математической моделью, описывающей отдельные стороны функционирования некоторого экономического объекта, поведением которого мы хотим управлять. В рамках данной модели, вообще говоря, можно поставить различные задачи, но, скорее всего, самой «естественной» будет задача поиска такого плана производства х Î Rⁿ, который дает наибольшее значение суммарного дохода, т. е. функции (10), и одновременно удовлетворяет системе ограничений (8)-(9). Кратко такую задачу можно записать в следующем виде:

Несмотря на явную условность рассматриваемой ситуации и кажущуюся простоту задачи (11), ее решение является далеконе тривиальным и во многом стало практически возможным только после разработки специального математического аппарата. Существенным достоинством используемых здесь методов решения является их универсальность, поскольку к модели (11) могут быть сведены очень многие как экономические, так и неэкономические проблемы.

Поскольку любая научная модель содержит упрощающие предпосылки, для корректного применения полученных с ее помощью результатов необходимо четкое понимание сути этих упрощений, что, в конечном счете, и позволяет сделать вывод об их допустимости или недопустимости. Наиболее «сильным» упрощением в рассмотренной модели является предположение о прямо пропорциональной (линейной) зависимости между объемами расхода ресурсов и объемами производства, которая задается с помощью норм затрат а_i,j. Очевидно, что это допущение далеко не всегда выполняется. Так, объемы расхода многих ресурсов (например, основных фондов) изменяются скачкообразно в зависимости от изменения компонентов объема производства х. К другим упрощающим предпосылкам относятся предположения о независимости цен с_j от объемов х_j, что справедливо лишь для определенных пределов их изменения, пренебрежение эффектом кооперации в технологиях и т. п. Данные «уязвимые» места важно знать еще и потому, что они указывают принципиальные направления совершенствования модели.

Транспортная задача. Рассмотрим проблему организации перевозки некоторого продукта между пунктами его производства, количество которых равно m, и n пунктами потребления. Каждый i-й пункт производства (iÎ1:m) характеризуется запасом продукта а_i ≥ 0, а каждый j-и пункт потребления (jÎ 1: n) — потребностью в продукте b_j ≥ 0. Сеть дорог, соединяющая систему рассматриваемых пунктов, моделируется с помощью матрицы С размерности m на n, элементы которой с_i,j представляют собой нормы затрат на перевозку единицы груза из пункта производстваi в пункт потребления j. План перевозки груза в данной транспортной сети представляется в виде массива элементов размерности m х n:

х = (x_1,1…x_1,n, x_2,1….,x_2,n,… , x_i,1, …, x_i,n,…, x_m,1,…,x_m,n). (12)

В (12) план перевозок х может рассматриваться как вектор, распадающийся на m групп, по n элементов в каждой, причем i-я группа соответствует объемам груза, вывозимым из j-го пункта производства во все возможные пункты потребления. Если реальная перевозка между пунктами i и j отсутствует, то полагают х_i,j= 0.