Математические методы исследования операций в экономике (стр. 34 из 37)
6.1.3. Матричные игры и понятие седловой точки. Рассмотрим более подробно антагонистические игры и их основные свойства. Удобным способом задания игры двух участников с нулевой суммой является платежная матрица. Отсюда, кстати, происходит еще одно их название — матричные игры. Каждый элемент платежной матрицы аij содержит числовое значение выигрыша игрока I (проигрыша игрока II), если первый применяет стратегию i, а второй — стратегию j. Термины выигрыш и проигрыш следует понимать в широком смысле, т. к. они могут принимать отрицательные значения и с житейской точки зрения означать противоположное. Нетривиальность задачи прежде всего заключается в том, что каждый из игроков делает свой выбор, не зная о выборе другого, что существенно осложняет процесс оптимизации выбираемой стратегии.
Классическим примером антагонистической игры является игра с двумя участниками, загадывающими независимо друг отдруга числа. Предполагается, что если их сумма оказывается четной, то выигрыш, равный 1, достается первому игроку, а если нечетной, то второму. Положив, что для обоих игроков загадывание нечетного числа является первой стратегией, а четного — второй, можем записать платежную матрицу данной игры:
Строки матрицы (6.1) соответствуют стратегиям игрока I, столбцы — стратегиям игрока II, а ее элементы — результатам первого игрока. Также из определения игры следует, что элементы данной матрицы, взятые с обратным знаком, соответствуют выигрышам второго игрока.
Более сложная и содержательная платежная матрица может быть получена, если несколько модифицировать предложенную игру. Допустим, что оба участника имеют право загадывать числа от 1 до 4, что составляет их соответствующие стратегии. В случае, если результат сложения задуманных чисел будет четным, то второй игрок выплачивает первому получившуюся сумму, а если нечетным, то первый — второму. Запишем платежную матрицу для такой игры:
Некоторая условность и искусственность в постановке проблемы не должны в данном случае нас смущать, так как к подобной форме может быть сведена модель, описывающая, например, соревнование двух фирм за вновь открывшийся рынок сбыта продукции и т. п.
Как уже отмечалось, важнейшим в теории игр является вопрос об оптимальности решения (выбора стратегии) для каждого из игроков. Проанализируем с этой точки зрения некоторую матричную игру, для которой задана платежная матрица А=║aij║mxn. При выборе игроком I стратегииi его гарантированный доход независимо от действий игрока II составит min ai,j. Поскольку он может выбирать i самостоятельно, то целесообразно этот выбор сделать таким, чтобы он при любой стратегии противника максимизировал величину гарантированного дохода, т. е. обеспечивал получение max (min ai,j). Такой принцип выбора стратегии получил название «принцип максимина». С другой стороны, аналогичные рассуждения могут быть проведены по поводу действий второго игрока. Его наибольший проигрыш при выборе стратегии j составит maxai,j, и, следовательно, ему следует выбирать стратегию так, чтобы минимизировать величину проигрыша при любых действиях соперника, т. е. обеспечить min (max ai,j). в этом суть принципа минимакса.
Можно доказать справедливость следующего соотношения:
Однако очевидный интерес представляет ситуация, при которой значение выигрыша (платежа), получаемого игроком I при выборе им максиминной стратегии, равно платежу (проигрышу) II-го игрока при минимаксной стратегии
В этом случае говорят, что игра имеет седловую точку. Совпадение значений гарантированных выигрышей игроков при максиминной и минимаксной стратегии означает возможность достижения в игре некоторого оптимального (стабильного, равновесного) состояния, от которого невыгодно отклоняться ни одному из участников. Понятие «оптимальность» здесь означает, что ни один разумный (осторожный) игрок не стремится изменить свою стратегию, так как его противник, в принципе, сможет выбрать такую стратегию, которая даст худший для первого результат. Стратегии i* и j*, образующие седловую точку, называются оптимальными, а значениеv = ai*j* называют ценой игры. Тройка (i*, j*, v) считается решением матричной игры с седловой точкой.
Нетрудно заметить, что не всякая игра обладает седловой точкой. В частности, как игра (6.1), так и игра (6.2) седловой точки не имеют. Примером игры, имеющей седловую точку, является игра с платежной матрицей (6.5).
В данной матрице минимальные (гарантированные) выигрыши первого игрока по строкам равны 1, 5 и (-3). Следовательно, его максиминному выбору будет отвечать стратегия 2, гарантирующая выигрыш 5. Для второго игрока максимальные проигрыши по столбцам матрицы составят 8, 10, 5, 17, поэтому имеет смысл остановиться на стратегии 3, при которой он проиграет только 5. Таким образом, вторая стратегия первого игрока и третья стратегия второго образуют седловую точку со значением 5, т. е. для игры с матрицей (6.5) имеет решение (2; 3; 5).
6.1.4. Смешанные стратегии. Дальнейшее развитие теории матричных игр основывается на исследовании игры как некоторого повторяющегося процесса. Действительно, вряд ли можно дать содержательные рекомендации по такому вопросу, как следует поступать участникам однократно проводимой игры, не имеющей седловой точки. В случае же ее многократных повторов естественной и плодотворной представляется идея рандомизации выбора стратегий игроками, т. е. внесение в процесс выбора элемента случайности. Действительно, систематическое отклонение, например, игрока I от максиминной стратегии с целью увеличения выигрыша может быть зафиксировано вторым игроком и наказано. В то же время абсолютно хаотичный выбор стратегий не принесет в среднем наилучшего результата.
- Смешанной стратегиейигрока I в игре с матрицей A=║ai,j║mxn называется упорядоченный набор действительных чисел xi , i∊1:m, удовлетворяющих условиям
Числа интерпретируются как вероятности применения игроком I стратегий 1, 2,..., m, которые, в отличие от смешанных, также называют чистыми стратегиями.
Аналогично вводится понятие смешанных стратегий игрока II, которые определяются как набор чисел уj, j∊1:n , удовлетворяющих условиям
Тогда, если игрок I применяет смешанную стратегию х=(х1, х2,..., хm) а игрок II смешанную стратегию y=(y1, y2,..., yn), то математическое ожидание выигрыша игрока I (проигрыша игрока II) определяется соотношением
** Напомним, что при многократном повторении игры средний выигрыш близок к математическому ожиданию.
В дальнейшем через Х будем обозначать множество допустимых смешанных стратегий игрока I, определяемое условием 6.7, а черезY — определяемое условием 6.8 множество допустимых смешанных стратегий игрока II.
К поиску решения игры в смешанных стратегиях, так же как и в п. 6.1.3, могут быть применены критерии максимина-минимакса. В соответствии с ними игрок I будет выбирать свою смешанную стратегию х=(х1, х2,..., хm) таким образом, чтобы максимизировать наименьший средний выигрыш:
который, как можно доказать, равен
а игрок II — свою смешанную стратегию так, чтобы минимизировать наибольший средний проигрыш:
также равный
По аналогии с (6.3) для любых х∊Х иy∊Y справедливо неравенство
-Стратегии х*∊Х иy*∊Yназываютоптимальными смешанными стратегиями, если для любыхх∊Х иy∊Yсправедливо равенство
v =F(x*,у*) называют ценой игры, и если х* и у* существуют, то говорят, что игра имеет решение в смешанных стратегиях (х*, у*, v).
Справедлива фундаментальная теорема Дж. Неймана, которую мы приведем без доказательства.
| Теорема 6.1 (основная теорема матричных игр). Любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях. |
Значение и нетривиальность теоремы (6.1) обусловлены прежде всего тем, что, как было показано в п. 6.1.3, в общем случае матричные игры в чистых стратегиях решения не имеют.