Производственная функция фирмы (стр. 7 из 9)

)=0

Полезно заметить, что оптимальный выпуск монополиста (

) как правило, не превосходит оптимального выпуска конкурентного производителя в формуле, помеченной звездочкой.

Более реалистичная (но также простая) модель фирмы используется для того, чтобы учесть ресурсные ограничения, которые играют очень большую роль в хозяйственной деятельности производителей. В модели выделяется один наиболее дефицитный ресурс (рабочая сила, основные фонды, редкий материал, энергия и т.п.) и предполагается, что фирма может его использовать не более чем в количестве Q . Фирма может производить n различных продуктов. Пусть y ₁ , ..., y _j , ..., y _n искомые объемы производства этих продуктов; p ₁ , ..., p _j , ..., p _n их цены. Пусть также q цена единицы дефицитного ресурса. Тогда валовой доход фирмы равен

а прибыль составит

Легко видеть, что при фиксированных q и Q задача о максимизации прибыли преобразуется в задачу максимизации валового дохода.

Предположим далее, что функция издержек ресурса для каждого продукта C _j (y_j ) обладает теми же свойствами, которые были высказаны выше для функции С ( у ). Таким образом, C _j ' (y _j ) > 0 и C _j '' ( y _j ) > 0.

В окончательном виде модель оптимального поведения фирмы с одним ограниченным ресурсом следующая:

Нетрудно видеть, что в достаточно общем случае решение этой оптимизационной задачи находится путем исследования системы уравнений:

Где j множитель Лагранжа.

Заметим, что соотношение

является по существу аналогом отмеченного выше совпадения в оптимальной точке маргинального дохода и маргинальных издержек. В случае квадратичных функций издержек

из системы уравнений (**) имеем:

Заметим, что оптимальный выбор фирмы зависит от всей совокупности цен на продукты ( p ₁ , ..., p _n ), причем этот выбор является однородной функцией системы цен, т.е. при одновременном изменении цен в одинаковое число раз оптимальные выпуски

не изменяются. Нетрудно видеть также, что из уравнений, помеченных звездочками (***), следует, что при увеличении цены на продукт n (при неизменных ценах на другие продукты) его выпуск следует увеличить с целью получения максимальной прибыли, так как

а производство остальных товаров уменьшится, так как

Эти соотношения в совокупности показывают, что в данной модели все продукты являются конкурирующими. Из формулы (***) вытекает также очевидное соотношение

т.е. при увеличении объема ресурса (капиталовложений, рабочей силы и т.п.) оптимальные выпуски увеличиваются.

Можно привести ряд простых примеров, которые помогут лучше понять правило оптимального выбора фирмы по принципу максимума прибыли:

1) пусть n= 2; p₁ = p₂ = 1; a₁ = a₂ = 1; Q= 0,5; q= 0,5.

Тогда из (***) имеем:

= 0,5; = 0,5; П = 0,75; = 1;

2) пусть теперь все условия остались прежними, но удвоилась цена на первый продукт: p ₁ = 2.

Тогда оптимальный по прибыли план фирмы:

= 0,6325; = 0,3162.

Ожидаемая максимальная прибыль заметно возрастает: П = 1,3312;

= 1,58;

3) заметим, что в предыдущем примере 2 фирма должна изменить объемы производств, увеличив производство первого и уменьшив производство второго продукта. Предположим, однако, что фирма не гонится за максимальной прибылью и не станет менять налаженное производство, т.е. выберет программу y₁ = 0,5; y ₂ = 0,5.

Оказывается, что в этом случае прибыль составит П = 1,25. Это означает, что при повышении цен на рынке фирма может получить значительное увеличение прибыли без изменения плана выпуска.

3.2 Методы учета научно-технического прогресса

Общепризнанным следует считать тот факт, что с течением времени на предприятии, сохраняющем фиксированную численность работников и постоянный объем основных фондов, выпуск продукции увеличивается. Это означает, что помимо обычных производственных факторов, связанных с затратами ресурсов, существует фактор, который обычно называют научно-техническим прогрессом (НТП). Этот фактор можно рассматривать как синтетическую характеристику, отражающую совместное влияние на экономический рост многих существенных явлений, среди которых нужно отметить следующие:

а) улучшение со временем качества рабочей силы вследствие повышения квалификации работников и освоения ими методов использования более совершенной техники;

б) улучшение качества машин и оборудования приводит к тому, что определенная сумма капитальных вложений (в неизменных ценах) позволяет по прошествии времени приобрести более эффективную машину;

в) улучшение многих сторон организации производства, в том числе снабжения и сбыта, банковских операций и других взаимных расчетов, развитие информационной базы, образование различного рода объединений, развитие международной специализации и торговли и т.п.

В связи с этим термин научно-технический прогресс можно интерпретировать как совокупность всех явлений, которые при фиксированных количествах затрачиваемых производственных факторов дают возможность увеличить выпуск качественной, конкурентоспособной продукции. Весьма расплывчатый характер такого определения приводит к тому, что исследование влияния НТП проводится лишь как анализ того дополнительного увеличения продукции, которое не может быть объяснено чисто количественным ростом производственных факторов. Главный подход к учету НТП сводится к тому, что в совокупность характеристик выпуска или затрат вводится время (t) как независимый производственный фактор и рассматривается преобразование во времени либо производственной функции, либо технологического множества.

Остановимся на способах учета НТП путем преобразования производственной функции, причем за основу примем двухфакторную производственную функцию:

где в качестве производственных факторов выступают капитал (К) и труд (L). Модифицированная производственная функция в общем случае имеет вид

причем выполняется условие

которое и отражает факт роста производства во времени при фиксированных затратах труда и капитала.

При разработке конкретных модифицированных производственных функций обычно стремятся отразить характер НТП в наблюдаемой ситуации. При этом различают четыре случая:

а) существенное улучшение со временем качества рабочей силы позволяет добиться прежних результатов с меньшим количеством занятых; подобный вид НТП часто называют трудосберегающим. Модифицированная производственная функция имеет вид

где монотонная функция l(t) характеризует рост производительности труда;

Рис. 11. Рост производства во времени при фиксированных затратах труда и капитала

б) преимущественное улучшение качества машин и оборудования повышает фондоотдачу, имеет место капиталосберегающий НТП и соответствующая производственная функция:

где возрастающая функция k (t) отражает изменение фондоотдачи;

в) если имеет место значительное влияние обоих упомянутых явлений, то используется производственная функция в форме

г) если же нет возможности выявить влияние НТП на производственные факторы, то применяется производственная функция в виде