Анализ экономических задач симплексным методом (стр. 6 из 7)

Соответствие между переменными примет вид

Учитывая это соответствие, выпишем из индексной строки последней итерации компоненты искомого плана

- двойственные оценки.

min f = max Z =84000.

Запишем это неравенство в развернутой форме:

48000*15 + 2400*5 + 1500*0 = 65*0 + 70*0 + 60*400 + 120*500

Учитывая, что компонеты представляют собой оценки ресурсов заключаем:

При оптимальном плане оценка ресурсов, затраченных на выпуск продукции, совпадает с оценкой произведенной продукции.

Теперь установим степень дефицитности используемых ресурсов и обоснуем рентабельность оптимального плана.

Мы нашли оптимальный план

выпуска продукции. При этом плане третье ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство:

0+2-400+500= 1300< 1500. Это означает, что расход ресурса

меньше его запаса, т. е. ресурс избыточный. Именно поэтому в оптимальном плане двойственной задачи оценка этого ресурса равна нулю.

А вот оценки

и ресурсов и выражаются положительными числами 15 и 5, что свидетельствует о дефицитности этих ресурсов: они при оптимальном плане используются полностью. В самом деле, ограничения по этим ресурсам выполняются как строгие равенства: 4.0+2.0+2.400+8.500=4800, 2-0+10.0+6.400=2400.

Поскольку 15>5, ресурс

считается более дефицитным, чем ресурс .

На основе теоремы (о дополняющей нежесткости) нетрудно объяснить, почему не вошла в оптимальный план продукция

и : первое и второе ограничения двойственной задачи выполняются как строгие неравенства: 4-15+2-5+0>65, 2-15+10*5>70.

Это означает, что оценки ресурсов, расходуемых на изготовление единицы продукции

и , превышают оценки единицы этой продукции. Понятно, что такую продукцию выпускать предприятию невыгодно. Что же касается продукции и , то выпуск ее оправдан, поскольку оценка израсходованных ресурсов совпадает с оценкой произведенной продукции: 2*15+ +6*5+2*0=60, 8*15+0=120.

Таким образом, в оптимальный план войдет только та продукция, которая выгодна предприятию, и не войдет убыточная продукция. В этом проявляется рентабельность оптимального плана.

Рассмотрим возможность дальнейшего совершенствования оптимального ассортимента выпускаемой продукции.

Выше установлено, что ресурсы

и являются дефицитными. В связи с этим на основе теоремы (об оценках) можно утверждать, что на каждую единицу ресурса , введенную дополнительно в производство, будет получена дополнительная выручка , численно равная . В самом деле, при получаем . По тем же причинам каждая дополнительная единица ресурса обеспечит прирост выручки, равный 5 р. Теперь становится понятно, почему ресурс считается более дефицитным по сравнению с ресурсом : он может содействовать получению большей выручки.

Что же касается избыточного ресурса

, то увеличение его запаса не приведет к росту выручки, поскольку . Из приведенных рассуждений следует, что оценки ресурсов позволяют совершенствовать план выпуска продукции.

Выясним экономический смысл оценок

продукции , , , .

По оптимальному плану

выпускать следует продукцию и . Оценки и этих видов продукции равны нулю. Что это означает, практически станет ясно, если представить оценки в развернутой записи:

Таким образом, нулевая оценка показывает, что эта продукция является неубыточной, поскольку оценка ресурсов, расходуемых на выпуск единицы такой продукции, совпадает с оценкой единицы изготовленной продукции.

Что же касается продукции

и являющейся, как установлено выше, убыточной, а потому и не вошедшей в оптимальный план, то для ее оценок и получаем:

Отсюда видно, что оценка убыточной продукции показывает, насколько будет снижать каждая единица такой продукции достигнутый оптимальный уровень.

§8. Программа и расчеты.

{Программа составлена для решения задачи линейного программирования

симплексным методом}

uses crt;

const n=2;{число неизвестных исходной задачи}

m=3;{число ограничений}

m1=0;{последняя строка равенств}

m2=1;{последняя строка неравенств вида >=}

label 5,15,20,10;

var b,cb:array[1..m] of real;c,x,e:array[1..50] of real;a:array[1..m,1..50] of real;

s0,max,mb,s1:real;i,j,k,i0,j0,m21,nm1,n1:integer; Bi:array[1..m] of integer;

begin

clrscr;

writeln;

writeln (' Симплексный метод решения задачи линейного программирования:');

writeln;

writeln (' Проведем некоторые преобразования с данной задачей:');

writeln;

writeln (' Подготовьте матрицу: сначала равенства, потом неравенства вида >= и неравенства вида <=;');

writeln (' Целевая функция должна быть на минимум (привести ее к такому виду); ');

writeln (' Вектор b должен состоять только из положительных элементов (привести его к та- кому виду);');

writeln(' Введите матрицу А ',m,'*',n,' построчно:');

for i:=1 to m

do begin for j:=1 to n

do read (a[i,j]);

readln

end;

writeln (' Введите в виде строки вектор b, состоящий из ',m,' компонент:');

for i:=1 to m

do read (b[i]);

writeln(' Введите теперь вектор с, состоящий из ',n,' компонент:');

for i:=1 to n

do read (c[i]);

m21:=m2-m1+n;nm1:=n+m-m1;n1:=n+m-m1+m2;

for i:=1 to m

do for j:=n+1 to n1

do a[i,j]:=0;

{переход к равенствам в неравенствах >=}

for i:=m1+1 to m2

do a[i,n+i-m1]:=-1;

{переход к равенствам в неравенствах <=}