Санкт-ПетербургскийГосударственныйТехническийУниверситет

Гуманитарныйфакультет

Кафедрасоциологиии права

РЕФЕРАТ

На тему : Методыалгебраическихи дифференциальных уравненийдля анализаи качественногоисследованиясоциально-экономическихявлений.

По дисциплине: Математическиеметоды моделированияпроцессовуправленияв социальнойсфере

Выполнил:

Студент КирилловаН.В.

Группы5121/1

Проверил:

Руководители РомановМ.Ф.

МаксимовЮ.Д.

Санкт-Петербург

2000 г.

ВВЕДЕНИЕ

Рынок представляетсобой системусаморегулированияэкономики потаким параметрам,как величинапокупательногоспроса, качествопродукции,общественнонеобходимыезатраты труда,объем производстватоваров и услуг.Механизмсаморегулированиявключает в себясвободныерыночные цены,экономическуюконкуренциюмежду производителями,свободный выборделовых партнеров.

Регулированиерынка со стороныцентра осуществляетсяс помощьюэкономическихрычагов - таких,как налоговая,финансоваяи кредитнаяполитика, ценына отдельныегруппы товаров,система дотацийи социальнойзащиты человека.В процессерегулированиярынка должныучитыватьсяэкономическиеинтересы какпроизводителей,так и потребителей.

Естественно,что для описаниянекоторыхэлементоврыночногомеханизмаиспользуютсяпростейшиематематическиемодели. Такиемодели отображаюттолько самыеобщие свойстваэкономическихсистем. В даннойработе приводитсяспособ исследованиясоциально-экономическихявлений путемсоставленияалгебраическихи дифференциальныхуравнений.

1. Простейшаямодель изменениязарплаты изанятости

Характернаячерта рыночнойсистемы хозяйства- наличие рынкатруда, на которомвзаимодействуютработодателии наемные рабочие.Пусть все участникирынка трударасполагаютна этом рынкеодинаковойинформациейв одинаковомобъеме и принимаютна основе этойинформациинаилучшие,оптимальныедля себя решения.Взаимодействиеспроса и предложенияна этом цивилизованномрынке приводитк равновесию,при которомза плату' p> 0 согласныработать N> 0 человек.Если по каким-топричинам эторавновесиесо временемнарушается(например, частьработниковуходит на пенсиюпо возрасту,либо у работодателявозникаютфинансовыетрудности), тофункции P(t)и N(t)отклоняютсяот р ,N.

ФункцииP(t)и N(t)рассматриваютсякак непрерывныеи достаточногладкие. Этиусловия принимаютсяисключительноиз соображений,связанных сматематическимидействиями,основывающимисяна свойствахдостаточногладких решений.

Будемсчитать, чточисло работниковувеличиваетсяили уменьшаетсяпропорциональноросту или уменьшениюзарплаты относительнозначения p .

Тогда

(1)

Предположим,что работодателиизменяют зарплатутакже пропорциональноотклонениючисленностизанятых отравновесногозначения n,т. е.

(2)

Дифференцируяравенство (1)по t,получим dN/dt²= adP/dl.Из этого равенствав силу (2) следуетdN/dt-= -aa(N- n), откуда

(3)

Общее решениеуравнения (3),имеет вид

(4)

гдеC и С - произвольныепостоянные.

Из (1) в силу(4) получаем

(5)

Умножимуравнения (4),(5) соответственнона и , возведемзатем в квадратлевые и правыечасти получившихсяравенств. Послесложения левыхи правых частейбудем иметь

(P-P)²+ (N-No)²=const>0. (6)

Рассматриваязначения переменныхN,Р как координатыточки на плоскости,можно геометрическипредставитьсостояние рынкапосредствомточки M(N,P).Эту точку втеории дифференциальныхуравненийназывают фазовойточкой, аплоскость ONP,на которойинтерпретируетсярешение (6), - фазовойплоскостью.Решение (3), (4)представляетсобой некоторыйзакон движенияточки M(N,P)на фазовойплоскости.

Изграфика кривой(6) видно (рис. 1),что при различныхзначениях constмы будем получатьразличныеэллипсы с центромв точке (n , P ), отвечающиесоответствующимначальнымусловиям Nи Р.

Рис 1.

Соотношениемежду зарплатой(Р) и числом

работников(N)при нарушенииравновесия.

ТочкаM(N,P),находящаясяна эллипсе,опишет за конечноевремя замкнутуюкривую и за время t=2 / возвратитсяв свое начальноеположение,возобновивто же самоедвижение.Следовательно,имеется периодичностьс периодом 2 / .

Изуравнения (6)видно (см. такжерис. 1), что в некоторыемоменты времениt,когда N = N(т. е. когда числозанятых становитсяравным равновесномузначению), имеемР>Р ,т.е. зарплатапревышаетравновесную,а при Р= p получаемN > n , т. е.число занятыхбольше равновесного.В эти моментыфонд заработнойплаты, равныйPN,превышаетравновесноезначение PoNoили меньшеего). Но в среднемза период колебанийвеличина PN, равна PoNo.

Замечание.Построеннаямодель основанана правдоподобныхпредставленияхо характеревзаимодействияработодателяи наемных рабочих.

2. Равновесиев краткосрочномпериоде, в условияхсовершеннойконкуренции

Любой участникрыночногоэкономическогопроцесса действуетв соответствиисо своимииндивидуальнымиинтересами(извлечениеприбыли, улучшениеусловий труда,минимизацияриска, экономияресурсов и т.д.). Миллионыпотребителейпринимаютсамостоятельныерешения, какиетовары и в какомколичествепокупать, аогромное числопредпринимателейсамостоятельнорешают, что икак производить.

Координациювсех независимопринимаемыхрешений осуществляетрыночный механизм,важную рольв котором играетконкуренция.Она сдерживаетчастные интересы,направляетих на производствообщественнонеобходимыхтоваров. Конкуренциянепременноприводит ктому, что ограниченныересурсы используютсяболее полнои эффективно.Они устремляютсяв те отрасли,которые производятнеобходимуюдля потребителяи рентабельнуюдля товаропроизводителяпродукцию.

Одной изглавных целейэкономики какнауки являетсяисследованиетого, как взаимодействиеспроса и предложенияприводит кравновесиюна конкурентномрынке в условиях,когда индивидуальныерешения участниковрынка мотивируютсясобственнымчастным интересоми вовсе не направленына достижениеравновесиямежду производствоми потреблением.В этой главеисследуетсяпростейшийвариант рыночнойэкономики,введя понятие«совершенныйконкурентныйрынок», т. е. рынок,каждый субъекткоторого экономическиничтожно мали не оказываетнепосредственноговлияния науровень производства,цены, зарплату,и все участникирыночногопроцесса, располагаяодинаковойинформацией,принимают наее основе наилучшие,оптимальныедля себя решения.Теория совершенногоконкурентногорынка можетслужить основойдля выявлениязакономерностей,внутреннеприсущих другимрыночным структурам.

Картинусовершенногоконкурентногорынка можносравнить сидеальноймеханическойсистемой, вкоторой совершенноне учтено трениемежду ее деталямии элементами.И совершенныйконкурентныйрынок, и упомянутаяидеальнаямеханическаясистема позволяютопределятьглавные особенностиизучаемыхявлений, однакона практикенеобходимоучитывать итрение в механическойконструкции,и многие факторы,действующиена конкретномреальном конкурентномрынке.

При рассмотрениисовершенногоконкурентногорынка будем исходить изтого, что разобщенныедействия участниковрыночногоэкономическогопроцесса могутскладыватьсячерез существующуюсистему отношенийкупли-продажив совокупнуюсогласованнуюкартину действийработодателейи наемных рабочих,финансистови вкладчикови т. д. Если врезультатетакого коллективноговзаимодействияобщее производствотоваров и услугсогласованос общим спросомна них, то такоесостояниеэкономикиназываетсяравновесным,а устанавливающиесяпри этом цены- равновеснымирыночнымиценами. Балансмежду спросоми предложениемимеет место,не при произвольных,а именно прирыночных ценах,что означает,в частности,платежеспособностьспроса.

Наиболеепростые математическиемодели экономическогоравновесияв условияхсовершеннойконкуренциистроятся приследующихпредположениях:

I.Объемы производстваотдельныхтоваропроизводителейстоль незначительныв сравнениис выпуском всейотрасли и изменяютсяв таких пределах,что это не оказываетникакого влиянияна цену продаваемоготовара.

II.Производственныевозможностиотрасли, гдефункционируетфирма-товаропроизводитель,неизменны.

III.Неизменны вовремени экономическиеинтересы партнеров:предпринимателине пытаютсяувеличить своюприбыль, рабочие- зарплату,инвесторовустраиваютпроценты, получаемыепо ценным бумагам,и т. д.

Отвечающиетаким предположенияммодели описываютравновесноесостояниеидеальнойрыночной экономикив краткосрочномпериоде. Этотвесьма частныйслучай «застывшей»во времениэкономики даетответ на вопросо возможностисуществованияэкономическогоравновесия,формирующегосяиз рыночного«хаоса», и, крометого, связываетмежду собойосновныемакропоказателиэкономическойсистемы.

Рассмотримодну из такихмакромоделей- модель Кейнса.В этой моделикраеугольнымкамнем являетсяположение отом, что рыночнаяэкономиказащищена отспада, что существуютопределенныемеханизмысаморегулирования,постоянноприводящиеобъем выпускаемойпродукции куровню, соответствующемуполной занятости.Если под влияниемкаких-то фактороввнешнегопроисхождения(война, неурожайи т. п.) произойдетспад производства,это не будетдлиться долго.Цены, заработнаяплата и процентнаяставка являютсягибкими, и онивернут экономикув равновесноесостояние,когда рабочаясила будетполностьюнанята, и все,что произведено,- продано. Конкуренцияуравняет спроси предложениена всех рынках.В этом случаенет необходимостигосударственноговмешательствав экономику.

В кейнсианскоймодели всеучастникирыночногоэкономическогопроцесса действуютна рынках рабочейсилы, продуктови денег, гдеэти товары(труд, продукты,деньги) распределяютсяи обмениваютсямежду субъектамирыночной экономики.

Первыймакропоказательэкономическойсистемы - национальныйдоход Q,являетсяединственным(для простоты)продуктом,производимымэтой системойв единицу времени.Этот продуктвырабатываетсяпроизводственнымсектором экономики,а его величинадается функциейF,зависящей отколичестваи качестваресурсов, составаосновных фондови числа занятыхработниковR(второй макропоказатель).В соответствиис предположениемII в состоянииравновесияпроизводственнаяфункция F,а с нею ипродукт Qопределяютсялишь занятостьюработников,т. е.

Q=F{R). (1)

ОтносительноF(R)обычно считается,что F(0}=О,F'(R)>Опри R>0и F"(R)при R>0(рис. .2). ФункцияF(R)обладает свойством«насыщения»:с ростом Rвыпуск растетвсе медленнее.

Q Q=F(R)

ис2. Соотношениемежду

рынкамитруда (R)и продукта(Q)

Такой подходвполне оправдан,поскольку приизлишне большомчисле занятыхна производстведля них попростуне найдетсясоответствующегофронта работ.

Соотношение,дополнительноек соотношению(1), определяетсяс помощью одногоиз основныхпостулатовклассическойполитэкономии:

IV.Заработнаяплата sработника равнастоимостипродукта, котораябыла бы потерянапри уменьшениизанятости наодну единицу.

В этом постулатене учитываются(считаютсямалыми) другиеиздержки, которыеотпали бы врезультатесокращенияодного рабочегоместа (затратына ресурсы,оборудованиеи т д.). В рассматриваемоймодели заработнаяплата считаетсязаданной. Онаопределяетсяв результатекомпромиссамежду работодателямии нанимаемыми(реальная жезарплата зависиттакже от уровняцен).

Такимобразом, изпостулата IVполучаем

(2)

где .Q⁽¹⁾- количествопродукта, потерянноепри уменьшениизанятости наодну единицу,Р - ценапродукта (такчто слева вравенстве (2)записана величинапотеряннойстоимости).Если занятостьизмениласьна величину R,то из равенства(2), очевидно, имеем

P=s R, (3)

где Q= Q R- стоимость,потеряннаяили полученнаяпри изменениичисла работниковна R. Из равенства(3) следует

(4)

Считая Rи Qмалыми в сравнениис R и Q,перепишемравенство (4) вдифференциальнойформе:

(5)

Из (5), принимаяво внимание(1), получим

F'(R)=s/P. (6)

ПосколькуF(R)задана (а с неюи производнаяF'(R)),то при известныхмакропоказателяхsи Р из(6) можно найтиуровень занятостиR, а из(1) - и величинупродукта Q.Этот уровеньотвечает числуработников,согласныхтрудиться заданную зарплатупри данныхценах и другиххарактеристикахсистемы, а невообще возможномучислу наемныхрабочих. Предполагается,что для обеспеченияравновесногоуровня занятостивсегда найдетсядостаточноеколичествожелающих работатьна существующихусловиях, т.е.:

V.Предложениетруда не сдерживаетпроизводство,число занятыхопределяетсяспросом на трудсо стороныпредпринимателей.

Два уравнения(1) и (6) содержатчетыре величины.Для построениязамкнутоймодели необходимодальнейшеерассмотрениерынка продуктови рынка финансов.

Произведенныйна рынке продуктчастично тратитсяна потребление,а частичносберегается:

Q=S+, (7)

гдеS -фондообразующийпродукт, т. е.сберегаемаячасть произведенногопродукта,возвращаемаяв экономическуюсистему, а - потребляемаячасть продукта,которая в экономикуне возвращается.

Рис.3. Соотношениемежду потребляемойчастью прдукта()и всемпроизводимымпродуктом(Q).

Соотношениемежду величинамиSи определяетсяиз следующихсоображений.Относительновеличины считается,что:

VI.Потребляемаячасть выпусказависит отвеличины самоговыпуска, т. е.=(Q).При этом функция(Q)обладает свойством«насыщения»так же, как ифункция F(R):чем большевыпуск, темменьшая долядополнительноговыпуска Qтратится напотребление(рис. 3) и тем большаядоля сберегается.Величина d/dQ=c(Q)называетсясклонностьюк потреблениюи лежит в пределах0 d= 1 - с - склонностьк накоплению).

Рис.4. Зависимостьспроса на инвестиции(А) от нормыбанковскогопроцента (r).

Фондообразующийпродукт

s= q - (Q) (8)

вкладываетсяинвесторамив экономикус цельюполучить вбудущем отэтих инвестицийдоход. В моделисчитается, чтоинвестицииэквивалентны отложенному(отнесенномуна будущее)потреблениюи потому определяютсяеще одним финансовыммакропоказателемсистемы - нормойбанковскогопроцента r.Действительно,cделавинвестициив размере (А)и получив черезгод доход D= Аr,инвестор ничегоне теряет (вданном примереи не выигрывает)по сравнениюс вложениемэтих средствв банк под процентr. В обоихслучаях сегодняшнеепотреблениеоткладываетсяради возможностибольшего потребленияв следующемгоду. Спрос наинвестициизадается функциейА(r)такой, что А'(r)при Qrr и А(r)=0при r>r : при большойнорме процентаинвестицииотсутствуют(рис. 4).

В условияхравновесияпредложениефондообразующегопродукта S(Q)сбалансированосо спросом наинвестицииА(r),следовательно,S(Q)= A(r).Из этого равенстваи равенства(8) следует

Q- (Q)=A(r). (9)

Дляокончательногозамыканияматематическоймодели рыночногоравновесияс совершеннойконкуренциейрассматриваетсярынок финансов.Чтобы произвестипокупки товараQ (какфондообразующего,вкладываемогов экономику,так и идущегона потребление),нужны деньги.Относительноспроса на деньгиделается следующеепредположение:

VII.Спрос на деньгипредставляетсобой суммуоперационногоспроса и спросаспекулятивного.

ис5. Зависимостьспекулятивногоспроса (I)от

нормыпроцента (r)

Операционныйспрос определяетсяколичествомденег, котороенужно иметьна руках, чтобыпроизводитьпокупки товараQ (какфондообразующего,так и идущегона потребление).Если цена продуктаравна Р,а время обращенияравно ,то операционныйспрос равенвеличине PQ

Спекулятивныйспрос связанс величинойнормы процентаr.Если нормапроцента высока,то большуючасть денегих владельцыпредпочитаютхранить в банке,рассчитываяна хорошийдоход и жертвуяболее высокойстепенью ликвидностибанкнот(способностьюобмениватьсяна продукты)в сравнениис банковскимиобязательствами.При низкойпроцентнойставке спекулятивныйспрос увеличивается:владельцыжелают иметьна руках всебольше банкнот,аккумулируяв них своинакопления.Поэтому спекулятивныйспрос задаетсяфункцией I(r)(рис. 5), такой, чтоI'(r)Oпри г>r и I(r)резко возрастаетпри r– r (I(r)- при r– r ; владельцыденег не приобретаютобязательствбанка). Естественносчитать, чтоr

Таккак финансовыйрынок находитсяв равновесии,то баланс («законсохранения»)денег дастсяуравнением'

Z=tPQ+I(r),…………………………………(10)

ГдеZ– количестводенег, являющеесязаданным управляющимпараметромсистемы (считается,что деньгивыпускаетгосударство).

Изсоединенияв одно уравнений(1), (6), (9) и (10), возникаетматематическаямодель рыночногоравновесия,полученнаяв предположенияхI-VII:

Q= F(R),

F’(R) = s/P,

Q-(Q) = A(r), (11)

Z= PQ+ I(r).

Р
ис.6.Зависимостьфондообразующегопродукта (S)от числа занятыхрабочих (R)

В

модели-(11) задаютсяпараметрысистемы s(ставка заработнойплаты), Zпредложениеденег) и техническийпараметр τ

ФункцииF,F',ω, А, I -известныефункции

своихаргументовс описаннымивыше

свойствами.По этим входнымданным из моделиопределяютсячетыре неизвестныевеличины: Q(величинавыпускаемогопродукта), R(уровень занятости), Р (ценапродукта) и r(норма банковскогопроцента).

Исключаяиз (11) величиныР, r,Q,систему уравнений(11) легко свестик одному уравнению

(12)

гдеА ¹ -функция, обратнаяфункции А.Из свойствстрого возрастающейфункции А=F(R)-ω(F(R))(рис. 6) легкоустановитькачественныйвид функцииА ¹ (взависимостиот R):функция А¹строго убываетс ростом R.В свою очередь,А служитаргументоммонотоннойфункции I:

(13)

Свойствафункции (13) таковы,что как функцияR онаимеет вид кривойJ{R),изображеннойна рис. 7 (длязначений R> R функцияIне определена),где R - корень уравнения

(14)

Рассмотримтеперь левуючасть уравнения(12). Функция

Z-sτF(R)/F'(R) (15)

равнаZ при R= 0, т.к. F'(R)> 0. Первая производнаяфункции (15)

(16)

в силуусловия F"(R) (см. рис. 2).Из (17) тогда следует,что функция(15) строго убываетна промежутке[О, R]. Введяобозначения

(17)

(18)

запишемуравнение (12)в виде

J(R)=X(R). (19)

В силуотмеченныхвыше свойствфункций (17) и (18),входящих влевую и правуючасти уравнения(19), графики функцийJ(R)и X(R)имеют вид кривых,изображенныхна рис. 7.

Рис.7. Определениеравновесногосостояния R в условияхсовершеннойконкуренции.

Следовательно,модель Кейнса(11) имеет единственноерешение описывающееравновесноесостояниеэкономики.

Пример.Используяравенства (11),найти уровеньзанятости R,величинупроизводимогопродукта Q,цену продуктаР и нормуприбыли rдля обеспеченияравновесияна конкурентномрынке, если

(20)

Приведенныев формулах (20)функции удовлетворяюттребуемымусловиям ивыбраны произвольноиз методическихсоображении.

Предполагаязаданнымипараметрысистемы s'=10, τ=50, Z=100,произвестивычисления,воспользовавшисьпрограммой1 при следующихзначенияхпараметровфункции F,ω, А, I:

а=10, b=5,c=0.5,m=8,k=2,r=5, r ==3, n=1.

В условияхпримера функцииJ(R)и X(R),определяемыепо формулам(17) и (18), принимаютвид:

(21)

Графикифункций (21) призаданных впримере значенияхпараметровпредставленына рис.8.

Рис. 8. Графикифункций, определяемыхформулами (21)

Чтобынайти равновесноезначение R*,найдем сначалаположительныйкорень R уравнения

соответствующийвертикальнойасимптотефункции J(R)(см. рис. 8), по формуле

или методомполовинногоделения, применяяпрограмму 2.Получим

R=0158.

Равновесноезначение уровнязанятости R , равное0.107, находим послеэтого в интервале(0;R), решаяуравнениеJ{R)=X(R),например,

методомполовинногоделения. Знаяравновесноезначение R= R , изсистемы уравнений(11) и формул (20) находимравновесныезначения остальныхтрех неизвестныхвеличин:

(23)

- равновесноезначение выпускапродукции,

-равновесноезначение ценыпродукта,

- равновесноезначение нормыприбыли.

Замечание.В этом анализерассматривалисьтрудовые отношенияв условияхсовершеннойконкуренции,когда на рынкетруда взаимодействуетнеограниченноеколичествоработодателейи не объединенныхв профсоюзынаемных рабочих,равновеснаяставка заработнойплаты и количествозанятых устанавливаютсяпод воздействиемспроса и предложениятруда. Предположим,что в даннойотрасли формируетсяпрофсоюз, надоопределитьспецифику еговлияния нарынок труда.Как правило,профсоюз всемидоступнымисредствамидобиваетсяустановленияставки заработнойплаты вышеравновесной.Допустим, чтопрофсоюз добилсяувеличенияставки заработнойплаты. Как натакие действияпрофсоюзаотреагируетсовершенныйконкурентныйрынок?

Вполнеочевидно, чтопредпринимателисократят спросна труд, посколькудля них выплачиваемаярабочим заработнаяплата являетсяиздержками,а так как ставказаработнойплаты возросла,то предпринимателине могут оставитьчисло занятыхнеизменным.Модель (11) можетбыть использованадля сравнительногоанализа состоянияравновесияпри изменениивеличин параметровs,τ, Z.

Покажемна примеремодели (20), рассмотреннойвыше, к чемуприведет увеличениев данной отраслизаработнойплаты вдвое(с s=10до s=20):

уровеньзанятостиуменьшитсяна 36% с R=0.107 до R=0.068,

выпускпродукцииуменьшитсяна 27% с Q = 3.49 до Q = 2.54,

ценапродукта увеличитсяна 52% с Р =0.472 до Р =0.719,

значениенормы прибылиувеличитсяна 13% с r* = 3.45 до r*= 3.91. Как видим,увеличениезаработнойплаты неминуемоприводит ктому, что какая-точасть рабочихдолжна покинутьотрасль. Аналогичныйпо своему воздействиюэффект на рыноктруда производитзаконодательноустанавливаемыйминимум заработнойплаты. В западнойэкономическойлитературедлительноевремя дискутируетсявопрос обэффективностизаконодательствао минимумезаработнойплаты. В США,например, минимумзаработнойплаты установленв размере 40-50% отсреднего уровнязаработнойплаты в обрабатывающийпромышленности.В настоящеевремя минимумзаработнойплаты в СШАсоставляет4.75 долл. в час. Наоснове многочисленныхисследованийподсчитано,что повышениеминимума заработнойплаты на 10% приводитк сокращениюзанятостимолодежи ввозрасте 16-19 летна 1—3%, а средилиц наемноготруда в возрастеот 20 до 24 лет безработицаувеличиваетсяна 1%. Общепризнаннымсчитается, чтофиксированныйминимум заработнойплаты оказываетнеблагоприятноевоздействиена занятость,особеннонизкооплачиваемыхкатегорийтрудящихся.

Будемизменять вмодели (20), рассмотреннойв приведенномвыше примере,величину заработнойплаты s.На рис. .9-12 показано,как с изменениемs в условияхсовершеннойконкуренциибудут изменятьсяR*,Q*,P* и r*.

Изприведенныхграфиков следует,что с увеличениемзаработнойплаты в условияхравновесногосостоянияэкономикинаблюдаетсяуменьшениеуровня занятостиR*и величиныпроизводимогопродукта Q*.При этом ценапродукта Р*и величинабанковскогопроцента r*растут.

Рис.9.График равновесногозначения R*в зависимостиот величинызаработнойплаты s

Рис.10. График равновесногозначения Q*величины производимогопродукта взависимостиот уровнязаработнойплаты

Рис..12.График равновесногозначенияР*цены продуктав зависимостиот уровня заработнойплаты.

Рис.11. График равновесного

значенияr*величины банковского

процентав зависимостиот уровня

заработнойплаты