Оптимизация показателей (стр. 1 из 5)
Для вирішення задачі лінейного програмування, потрібно записати вихідну задачу в формі задачі лінейного програмування, а потім застосовувати симплекс-метод . Основною задачею лінійного програмування – задача для якої:
1. потрібно визначити максимальне значення ф-ції
2. всі обмеження записані в вигляді рівностей
3. для всіх змінних виконується умова невідємності
Якщо обмеження має вид нерівності зі знаком >=, то шляхом множення його на (-1) переходять до нерівності зі знаком <=.
Від обмежень нерівностей необхідно перейти до обмежень рівностей. Такий перехід виконується шляхом введення в ліву частину кожної нерівності додаткових незалежних невідємних змінних. При цьому знак нерівності міняють на знак рівності.
Вихідне завдання:
F = 5х1 +6х2 max 
-10x1 - 6x2 ³-60-4x1 + 9x2 £ 36
4x1 - 2x2 £ 8
x1,x2³0 x1,x2-цілі числа
Основна задача:
F = 5х1 +6х2 max 
10x1 + 6x2 + х3 =60-4x1 + 9x2 +х4= 36
4x1 - 2x2 +х5 = 8
x1,x2,x3,x4,x5 ³0 x1,x2-цілі числа
Кожній змінній в системі відповідає свій вектор – стовпець. Вектор – стовпець Ро складається із значень правих частин рівнянь і називається вектором вільних членів.
Виходячи з основного завдання, складаєм симплекс-таблицю.
| № рядка | Базис | Сб | Р0 | Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 |
| 1 | Р3 | 0 | 60 | 10 |  6 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | Р4 | 0 | 36 | -4 | 9 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | Р5 | 0 | 8 | 4 | -2 | 0 | 0 | 1 |
| 4 | F | 0 | -5 | -6 | 0 | 0 | 0 |
Таблиця № 1 – Вихідна симплекс-таблиця
 |
 |
Знаходження оптимального розвязку ЗЛП за допмогою с-м включає слідуючі етапи:
1. За вихідною с-т знаходять опорне рішення
Кожній с-т відповідає своє опорне рішення. Воно може бути представлене у вигляди вектора Х Розмірніст вектора дорівнює кількості змінних в основній задачі.
Кожній змінній в симплекс таблиці відповідає свій вектор. Змінній x1—вектор Р1 і т.д.
Вектор Р0 складений із вільних членів рівнянь. Кожний рядок симплекс-таблиці – рівняння відповідно. Четвертий рядок—рядок оцінок в ньому записують коефіцієнти при змінних в цільовій ф-ції з протилежним знаком і визначається розв’язуємий стовпець, беруться модулі від’ємних чисел з цієї строки. В векторі Х кожній змінній відповідає певна компонента. Змінній х1 перша компонента змінній х2—друга. Значення компонент визначають слідуючим чином, якщо вектор базисний, то компонента дорівнює значенню компоненти вектора стовпця Р0 з того рідка де в базисі стоїть 1.
У вихідній таблиці вектори Р1, Р2 – не базісні, тобто в Х – перша и друга компоненти = 0
Х=(0;0;60;36;8)
2. Зясовують, мається хочаб одне відємне значення врядку оцінок ( рядок 4) Якщо нема – то план оптимальний, якщо є – треба переходити до новій с-т.
Рядок оцінок має (-5) та (-6), отже данний опорний план – не оптимальний.
3. Знаходять визначальний стовпець. Стовпець називають визначальним, якщо в рядку оцінок у нього найбільше за модулем значення. Маємо стовпець Р2 |-6|>|-5|
4. Знаходимо визначальний рядок. Визанчальним назівається такий рядок, який відповідає найменшому з відношень компонентів стовпця Ро до додатніх компонентів визначального стовпця. (Рядок оцінок до уваги не приймається)
Min = ( 60/6; 36/9) = 4 – рядок 2.
5. Будують наступну с-т .
Для цього кожний елемент таблиці перераховуємо за формулою
aij=aij- (аіk* аnj)/ank де k-номер розв’язувального стовпця, а n- номер розв’язувального рядка
aij—елемент строки- і, стовпця- j нової сиплекс таблиці
aij—елемент строки- і, стовпця-j попередньої симплекс-таблиці
аіk-- елемент що знаходиться у визначальному стовпці попер. с-т.
аnj-- елемент що знаходиться у визначальному рядку попер с-т.
ank – элемент що стоїть на перехресті визн рядка и строки у попер сим-т.
a10= 60 – (36*6)/9 = 36
a11= 10 +(6*4)/9 = 38/3
| № рядка | Базис | Сб | Р0 |  Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 |
| 1 | Р3 | 0 | 36 | 0 | 0 | -1 1/5 |  0 | |
| 2 | Р2 | 6 | 4 | -4/9 | 1 | 1 | 1/5 | 0 |
| 3 | Р5 | 0 | 16 | 28/9 | 0 | 0 | 3/5 | 1 |
| 4 | F | 24 |  -23/3 | 0 | 0 | 1 1/5 | 0 |
Таблиця № 2
Х1=(0;4;36;0;16) F(X1) = 24
В рядку оцінок є одне відємне число. Тому Р1 – визначальний стовпець
Min = ( 36/38*3;16/4;9) = 54/19 – визначальний рядок Р3
Таблиця № 3
| № рядка | Базис | Сб | Р0 | Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 |
| 1 | Р1 | 5 | 54/19 | 1 | 0 | 3/38 | -1/19 | 0 |
| 2 | Р2 | 6 | 100/19 | 0 | 1 | 2/57 | 5/57 | 0 |
| 3 | Р5 | 0 | 136/19 | 0 | 0 | -14/57 | 22/57 | 1 |
| 4 | F | 870/19 | 0 | 0 | 21/38 | 5/19 | 0 |
X3= ( 54/19;100/19;0;0;136/19) F3(X3) = 45 15/19
В рядку оцінок нема відємних значень, тому даний опорний план є оптимальним. Але не виконується умова цілочисельності, тому слід застосувати відсічення по методу Гоморі.
2. Застосування і побудова відсічення по методу Гоморі
х1=54/19, х2=100/19
До системи обмежень основного завдання добавляємо ще одну нерівність виду: F(a*ij)*xij>= F(b*ij), де a*ij і b*ij дробови частини чисел.
Під дробовою частиною числа а розуміють найменше невідємне число в і таке, що а – в є цілим числом.Якщо в оптимальному плані вихідного завдання дробового значення приймають декілька змінних, то додаткова нерівність будується для змінної, в якої найбільша дробова частина.
F(x1)>F(x2) (16/19 >5/19)
-3/38х3-18/19х4 + х6 = -16/19
таблиця № 4
| № рядка | Базис | Сб | Р0 | Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 | Р6 |
| 1 | Р1 | 5 | 54/19 | 1 | 0 | 3/38 | -1/19 | 0 | 0 |
| 2 | Р2 | 6 | 100/19 | 0 | 1 | 2/57 | 5/57 | 0 | 0 |
| 3 | Р5 | 0 | 136/19 | 0 | 0 | -14/57 | 22/19 | 1 | 0 |
| 4 | Р6 | 0 | -16/19 | 0 | 0 | -3/38 |  -18/19 | 0 |  1 |
| 5 | F | 870/19 | 0 | 0 | 23/38 | 5/19 | 0 | 0 |
