Нижегородский Ордена Трудового Красного Знамени
Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Экономический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

Курсовая работа
по программному обеспечению

тема:

Решение задачи о коммивояжере

Выполнили:

Шапошников А.Д.

Яров Е.И.

Научный руководитель:

Громницкий В.С.

Нижний Новгород
1995 год

Введение

В настоящее время быстро развивается научно-техническая революция. Появившись в 40-х годах нашего столетия компьютеры и компьютерные технологии прошли за это время путь от ламповых систем с прямым заданием кодов операций до сверхбыстрых персональных компьютеров на монокристальной технологии, использующих при работе многопользовательские операционные системы с графическим интерфейсом. Наиболее бурное развитие компьютерных технологий произошло за последние 10-15 лет, после того как была разработана технология производства СБИС, а на их основе микрочипов. Также в начале 80-х годов начала развиваться концепция персональной ЭВМ, которая со временем выразилась в существовании двух наиболее распространенных аппаратных платформ: Macintosh (производится фирмой Apple, процессоры фирмы Motorola) и IBM PC (производится фирмой IBM, процессоры фирмы Intel).

Каждая из этих платформ имеет свою направленность и особенности. Компьютеры Macintosh в основном ориентированы на работу в глобальных сетях и обработку информации, как бы внешнего восприятия, то есть графической и звуковой. Их главными особенностями являются встроенная в ПЗУ (ROM) графическая операционная система и несовместимость различных моделей этой фирмы, однако за счет этого достигнут очень быстрый рост производительности процессоров и системы в целом.

Фирма IBM, в отличие от Apple, придерживается концепции открытой системы, что выражается в том, что, во-первых, IBM не имеет эксклюзивного права на производство и продажу IBM-совместимых компьютеров (их производит множество фирм, таких как Hewlett Packard, AT&T, Compaq и другие), а также полной совместимости поздних моделей с более ранними, что позволяло IBM долгое время удерживать рынок сбыта, несмотря на то, что в начале 90-х годов Macintosh-и заметно превосходили PC по производительности (сейчас, с появлением Pentium и PowerPC, Macintosh-и потеряли безоговорочное лидерство по производительности).

Персональные компьютеры сейчас в основном используются в четырех областях:

· обработка текстов и компьютерная верстка;

· хранение баз данных с возможностью быстрой их обработки;

· управление производственными процессами;

· анализ сложных процессов;

Также сейчас интенсивно развиваются еще несколько областей применения ПЭВМ, таких как компьютерные игры (в 1994 году 43% рынка программных продуктов составляли игровые программы), гео-информационные системы, обучающие системы и системы мультимедиа.

Программа данной курсовой работы входит в раздел "анализ сложных процессов". Данная область начала развиваться в середине 80-х годов, когда производительность ПЭВМ достигла достаточного уровня для обработки необходимых объемов информации в реальном масштабе времени, что позволило начать применение компьютеров в областях, связанных с контролем сложных процессов и их анализом. Одной из таких проблем стала оптимизация систем со многими неизвестными, когда некоторый параметр было необходимо свести к какому-либо значению или просто максимизировать.

Наиболее ярким и характерным примером применения задачи "О коммивояжере" стала оптимизация операций на конвейере: в 1984 году, после того как был проведен анализ последовательности и временных затрат на операции на конвейерах заводов компании "General Motors" и приняты рекомендованные меры, удалось увеличить общую производительность почти на 13% при неизменном числе рабочих и том же оборудовании. Расчеты производились на компьютерах IBM 360gr, которые в то время являлись одними из самых производительных систем в мире. Просчет и оптимизация 200 основных и 87 вспомогательных операций занял около 230 часов. Считается, что это было первое коммерческое применение компьютерных технологий в области управления производством в целом.

Сейчас решение данной задачи необходимо во многих областях связанных с замкнутыми и при этом жестко связанными по времени системами, такими как: конвейерное производство, многооперационные обрабатывающие комплексы, судовые и железнодорожные погрузочные системы, перевозки грузов по замкнутому маршруту, расчет авиационных линий.

Поэтому данная проблема на современном этапе развития общества имеет не самое последнее по значимости место.

Постановка задачи

Классическая постановка задачи о коммивояжере выглядит следующим образом:

Имеется N городов, которые должен обойти коммивояжер с минимальными затратами. При этом на его маршрут накладывается два ограничения:

· маршрут должен быть замкнутым, то есть коммивояжер должен вернуться в тот город, из которого он начал движение;

· в каждом из городов коммивояжер должен побывать точно один раз, то есть надо обязательно обойти все города, при этом не побывав ни в одном городе дважды.

Для расчета затрат существует матрица условий, содержащая затраты на переход из каждого города в каждый, при этом считается, что можно перейти из любого города в любой, кроме того же самого (в матрице как бы вычеркивается диагональ). Целью решения является нахождения маршрута, удовлетворяющего всем условиям и при этом имеющего минимальную сумму затрат.

Алгоритм решения

В курсовой работе для решения задачи о коммивояжере применяется метод ветвей и границ, относящийся к методам дискретной оптимизации. В сущности, это полный перебор решений, который оптимизируется за счет того, что при переборе вариантов по определенным признакам отсекаются неоптимальные множества перебора. Так как количество вершин от уровня к уровню возрастает в факториальной прогрессии, то отсечение вершин верхних уровней значительно сокращает общее число перебираемых вариантов.

Общая схема метода такова (данная программная реализация):

Математическая модель задачи

N - число городов.

Ci j , i, j=1..N - матрица затрат, где Ci j - затраты на переход из i-го города в j-й.

Xi j - матрица переходов с компонентами:

Xi j = 1, если коммивояжер совершает переход из i-го города в j-й,

Xi j = 0, если не совершает перехода,

где i, j = 1..N и i¹j.

Критерий:

(1)

Ограничения:

, i = 1..N (2)

, j = 1..N (3)

Ui - Uj + N × Xi j£ N-1, i, j = 1..N, i ¹ j. (4)

Доказательство, что модель (1-4) описывает задачу о коммивояжере:

Условие (2) означает, что коммивояжер из каждого города выезжает только один раз; условие (3) - въезжает в каждый город только один раз; условие (4) - обеспечивает замкнутость маршрута, содержащего N городов, и не содержащего замкнутых внутренних петель.

Рассмотрим условие (4). Применим метод доказательства от противного, то есть предположим, что условие (4) выполняется для некоторого подцикла T из R городов, где R<N. Сложив все неравенства (4) вдоль этого подцикла получим

Так как

то N × R £ (N -1), где R<N, R ¹ 0.

Следовательно, не существует замкнутого подцикла с числом городов меньшим, чем N.

Покажем, что существует Ui, которое для замкнутого цикла, начинающегося в некотором начальном пункте, удовлетворяют условию (4). При всех Xi j (j-й город не посещается после i-го) в (4) имеем Ui - Uj£ N - 1, что допустимо в силу произвольных Ui и Uj.

Пусть на некотором R-ом шаге i-й город посещается перед j-м, то есть Xi j = 1. В силу произвольности значений Ui и Uj положим Ui = R, а Uj = R + 1, тогда из (4) имеем:

Ui - Uj + N × Xi j£ R - (R - 1) + N = N - 1

Итак, существуют такие конечные значения для Ui и Uj, что для маршрута, содержащего N городов, условие (4) удовлетворяется как неравенство или строгое равенство. А следовательно, модель (1-4) описывает задачу о коммивояжере.

Описание программной реализации алгоритма

В программе реализован классический вариант метода ветвей и границ, то есть алгоритм решения следующий:

При этом предусмотрена возможность смены направления критерия, то есть возможность решения задачи на максимум.

Задача о коммивояжере (стр. 1 из 3)

Оглавление

Введение

Постановка задачи

Алгоритм решения

Математическая модель задачи

Описание программной реализации алгоритма