Обозначим через c доход от продажи товара в единицу времени. Тогда, если фирма А выбрасывает свой товар в момент i, а фирма В - в момент j>i, то фирма А, не имея конкурента в течение j-i единиц времени, получит за это время доход c(j-i). В момент времени j на рынке появляется товар фирмы В, который имеет более высокое качество. Поэтому с момента j фирма А теряет рынок и в дальнейшем дохода не получает. Если же i>j, то фирма А, выбросив на рынок более качественный товар, будет получать доход в течение всего отрезка [i,n]. Так как число оставшихся единиц времени равно n-i+1, то доход фирмы А будет равен c(n-i+1). В том случае, когда i=j, т.е. на рынок одновременно поступают оба товара, эти товары имеют одинаковый спрос, и поэтому фирма А получит доход, равный
Получаем матричную игру
Автотранспортная компания для перевозки грузов располагает четырьмя автомашинами следующей грузоподъемности: машина 1 - 2 т, машина 2 и машина 3 - по 5 т, машина 4 - 8 т. Для каждой автомашины известна стоимость ее эксплуатации за день: для машины 1 - 15 единиц, для машины 2 - 20 единиц, для машины 3 - 19 единиц, для машины 4 - 30 единиц. Необходимо в течение одного дня развести грузы четырем получателям. В книжный магазин нужно доставить груз весом в 1 т, в мебельный магазин - в 3 т, в фермерское хозяйство - в 5 т и на сталелитейный завод - в 8 т. Предположим, что одна и та же машина не может доставлять груз в книжный или мебельный магазин и на ферму. Требуется так назначить автомашины для доставки всех грузов, чтобы суммарные затраты были минимальными.
Решение
Задачу минимизации суммарных затрат на перевозку грузов можно записать как задачу математического программирования:
Здесь через xij обозначен факт поставки i-му потребителю груза j-ой машиной, т.е.
Все получатели грузов пронумерованы: 1 - книжный магазин, 2 - мебельный магазин, 3 - фермерское хозяйство, 4 - сталелитейный завод. Целевая функция представляет собой суммарные затраты. Первые четыре ограничения связаны с необходимостью доставить получателям нужное им количество груза, следующие - с невозможностью одновременного использования одной машины на некоторых маршрутах.
Пусть экономика представлена двумя отраслями народного хозяйства, каждая из которых выпускает свою продукцию и затрачивает на воспроизводство труд, средства труда и предметы труда. Валовый продукт каждой отрасли за год распределяется соответственно на конечный продукт и производственное потребление, причем в процессе производства данной отрасли может применяться продукция обеих отраслей. Известно, что потребление одной отраслью продукции другой пропорционально объему валового выпуска первой из них. Конечный продукт обеих отраслей делится на валовые капитальные вложения и непроизводственное потребление. Без учета амортизационных отчислений, можно считать, что валовые капитальные вложения из одной отрасли в другую каждый год пропорциональны приросту валовой продукции второй отрасли.
Определить, как должна функционировать рассматриваемая экономическая система во времени.
Решение
Заметим, что поскольку критерий оптимальности в задаче не задан, то математическая модель будет описательной. Обозначим через
Пусть
Обозначив
Пропорциональность валовых капитальных вложений приросту валовой продукции запишем в виде
Окончательно, получаем двухпродуктовую модель экономики
Задавая в начальный момент