Оптимизационные методы решения экономических задач (стр. 1 из 4)

Содержание

Введение

1 Оптимизационные методы решения экономических задач.

2 Многокритериальная оптимизация. Методы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной

3 Гладкая оптимизация.

4 Выпуклая оптимизация. Условие выпуклости.

5 Экономико-математическая модель реструктуризации угольной промышленности. Критерий оптимизационной задачи

Заключение

Литература

Введение

Угольная промышленность является одной из базовых в народно-хозяйственном комплексе Украины. Уголь потребляется почти во всех отраслях народного хозяйства и определяет в основном темпы и возможный уровень развития производства черных и цветных металлов, электрической и тепловой энергии, других отраслей промышленности. Каменный и бурый уголь служат исходным сырьем для ряда отраслей химической промышленности.

Вследствие большой глубины угольных залежей и небольшой мощности пластов угольная промышленность Украины имеет худшие показатели добычи угля по сравнению с некоторыми странами СНГ и мира. Добыча угля в осуществляется в несоизмеримо худших горно-геологических условиях, чем в других странах мира. Это - главная объективная причина больших удельных затрат материальных, энергетических, трудовых ресурсов, а также того, что производительность труда намного ниже мировой. Кроме того, отрасль теряет наиболее подготовленных, квалифицированных специалистов. Большая часть шахт нерентабельна, т.е. суммарные затраты на добычу угля превышают его стоимость на рынке.

В настоящее время отрасль требует внедрения задач оптимизационного типа, в которых требуется найти наилучшее или оптимальное решение при заданных условиях производства. Опыт западноевропейских государств, практически завершивших оптимизационный процесс в угольной промышленности, и России, стартовые позиции которой сходны с Украиной, подтверждает необходимость поддержки и контроля со стороны государства при реализации намеченных программ.

Таким образом, необходимо отметить, что изучение экономических задач оптимизационного типа относящихся к угольной промышленности является актуальным предметом исследования. Наличие большого количества проблем требует детального их изучения и разработки направлений по их решению.

1 Оптимизационные методы решения экономических задач

К экономическим задачам оптимизационного типа относятся задачи, в которых требуется найти наилучшее или оптимальное решение при заданных условиях производства. Такие задачи называются задачами на максимум или минимум. Особенностью задач оптимизационного типа является многовариантность их решений, обусловленная следующими причинами: взаимозаменяемостью ресурсов; взаимозаменяемостью готовых видов продукции; существованием альтернативных технологий производства; неодинаковостью технико-экономических показателей даже однотипных хозяйственных субъектов.

Возможны два подхода к постановке оптимизационных задач: при первом подходе требуется получить максимальные конечные результаты при заданных условиях производства; при втором подходе требуется получить заданные конечные результаты при минимальных затратах ресурсов.

Математический инструментарий, позволяющий решать экономические задачи оптимального типа, называется программированием. Различают линейное и нелинейное программирование.

На практике наибольшее распространение получило линейное программирование.

Методы линейного программирования в математике известны под названием общей задачи линейного программирования. Аналитическая формулировка общей задачи линейного программирования. Общая задача линейного программирования формулируется следующим образом:

Найти решение {Х₁,Х₂,….Х_n}, позволяющее максимизировать или минимизировать целевую функцию

F = C₁X₁+C₂X₂+…+ C_nX_n

при условиях

Х₁≥0; Х₂≥0; …; Х_n≥0.

Это развернутая запись общей задачи линейного программирования. Сокращенная запись этой модели имеет вид:

Найти решение {X_j}, позволяющее максимизировать (минимизировать) функцию

при условиях

, i = 1,2,…,n;

X_j ≥ 0, j = 1,2,…,n.

Вышеприведенные записи общей задачи линейного программирования называют аналитической формой записи.

Любое решение, удовлетворяющее условиям, называется допустимым решением. Допустимое решение систем неравенств, удовлетворяющее целевой функции, называется оптимальным решением. Такое решение единственно при заданных условиях.

Матричная форма записи общей задачи линейного программирования

при ограничениях AX≤B

X≥0

где С = (с₁, с₂,…, с_n);

где С – матрица-строка

А – матрица системы

Х – матрица-столбец переменных

В – матрица-столбец свободных членов

2 Многокритериальная оптимизация. Методы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной.

Многокритериальная оптимизация представляет собой минимизацию некого вектора целей F(x), на которой могут быть наложены дополнительные ограничения или предельные значения

Отметим, что поскольку F(x) является неким вектором, то любые компоненты F(x) являюся конкурирующими и отсутсвует некое единое решение поставленной задачи. Взамен этого, для описания характеристик целей вводится концепция множества точек неулучшаемых решений (так называемая оптимальность по Парето).Неухудшаемое решение есть такое решение, в котором улучшение в одной из целей приводит к некому ослаблению другой. Для более точной формулировки данной концепции рассмотрим некую область допустимых решений

в параметрическом пространстве , которое удовлетворяет всем принятым ограничениям.

Отсюда возможно определить соответствующую область допустимых решений для пространства целевых функций

.

, где

при условии

Определение. Точка

является неулучшаемым решением, если для некоторой окрестности нет некого такого, что

Стратегия взвешенных сумм

Данная стратегия взвешенных сумм преобразует многокритериальную задачу минимизации вектора

в некую скалярную задачу путем построения неких взвешенных сумм для всех выбранных объектов.

Далее уже к данной задаче оптимизации уже может быть применен стандартный алгоритм оптимизации без наличия ограничений. В этом случае рассматриваются взвешенные коэффициенты для каждой из выбранных целей. Взвешенные коэффициенты необязательно должны напрямую соответствовать относительной значимости соответствующей цели или принимать во внимание взаимовлияние между конкретно выбранными целями. Более того, границы неулучшаемых решений могут быть и не достигнуты, так что определенные решения являются по существу недостижимыми.

Метод

-ограничений

Некий определенный способ, который отчасти позволяет преодолеть проблему выпуклости метода взвешенных сумм, есть метод

-ограничений. В этом случае осуществляется минимизация основной цели и при представлении остальных целей в форме ограничений типа неравенств.

при выполнении условия

Подобный подход позволяет определить некое количество неулучшаемых решений для случая вогнутой границы, что, по существу, является недоступным в методе взвешенных сумм, например, в точке искомого решения

и . Однако проблемой данного метода является подходящий выбор , который мог бы гарантировать допустимость некого решения.

Метод достижения цели

Описанный далее метод представляет собой метод достижения цели Гембики. Данный метод включает в себя выражение для множества намерений разработчика

, которое связано с множеством целей . Такая формулировка задачи допускает, что цели могут быть или недо- или передостижимыми, и что дает разработчику возможность относительно точно выразить исходные намерения. Относительная степень недо- или передостижимости поставленных намерений контролируется посредством вектора взвешенных коэффициентов и может быть представлена как стандартная задача оптимизации с помощью следующей формулировки