Оптимизация работы предприятия ООО "Техсервис" по критерию прибыли за счет инноваций технологии и экономии ресурсов (стр. 8 из 22)
Поскольку любой сетевой график имеет критический путь, то есть путь с наибольшей продолжительностью, то, на основании только что доказанного, в любом сетевом графике можно найти путь, работы которого имеют только нулевые полные резервы времени.
Достаточность – Если все работы некоторого пути имеют нулевые полные резервы времени, то этот путь обязательно является критическим.
Если некоторый путь имеет работы только с нулевыми полными резервами времени, то это означает, что ни одну работу, указанного пути, нельзя увеличить по длительности без изменения срока свершения завершающего события сетевого графика. Это возможно, только когда сумма длительностей работ, рассматриваемого пути равна сроку свершения завершающего события, то есть длительности критического пути. Тогда, рассматриваемый путь и является критическим, в силу того, что он равен критическому пути по длительности. Утверждение доказано.
Теорема 3.2 – Если в некоторое событие сетевого графика входит работа с нулевым полным резервом времени, то среди всех исходящих из данного события работ, обязательно найдётся хотя бы одна, имеющая также нулевой резерв времени. То есть, работы с нулевыми резервами времени следуют друг за другом непрерывно.
Для доказательства данной теоремы рассмотрим обобщенный пример на рисунке 2.2, где, в целях удобства, событиям присвоены условные номера.
Докажем теорему методом от противного.
Пусть для работы, входящеё в событие 2, полный резерв времени
. Предположим противное – среди всех работ, исходящих из события 2, нет ни одной работы с нулевым полным резервом времени.Для начала найдём, чему равен поздний срок свершения события 2. Он, в соответствии с формулой (2.2), определяется как минимальное время позднего начала работы среди всех работ, исходящих из рассматриваемого события. Пусть поздний срок свершения события 2 равен позднему началу работы, входящей, например, в событие 4:
,или, в соответствии с выражением (2.8) для полного резерва времени,
.(2.10)Теперь рассмотрим, какое может иметь значение полный резерв времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2. В соответствии с формулой (2.8):
(2.11)Из формулы (2.11) видно, что минимально возможное значение полного резерва времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2, достигается тогда, когда величина
достигает своего максимального значения. Из правила определения раннего срока свершения события, задаваемого формулой (2.1), следует, что максимальное значение этой величины может быть равно только раннему сроку свершения события 2, когда ранний срок окончания рассматриваемой работы самый большой из всех ранних сроков окончания работ, входящих в событие 2. Тогда, минимально возможное значение полного резерва времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2 равно: 
,или, исходя из формулы (2.11):
(2.13)Поскольку мы предположили от противного, что среди всех исходящих из события 2 работ нет работ с нулевым полным резервом времени, то отсюда сразу вытекает, что и работа, исходящая из события 1 и входящая в событие 2, также не может иметь нулевой полный резерв времени, уж если его минимальное значение заведомо неравно нулю, в соответствии с полученным равенством. Последнее противоречит условию теоремы. Из этого противоречия следует то, что невозможна ситуация, когда при нулевом резерве времени работы, входящей в событие 2, все исходящие из этого события работы имели бы ненулевые резервы времени. Если бы это имело место, то в соответствии с приведённым доказательством, работа, входящая в событие 2 также бы имела ненулевой полный резерв времени. Но ведь это не так по условию теоремы. Тогда для работ, исходящих из события 2 остаётся другая возможная ситуация – хотя бы одна из них имеет также нулевой полный резерв времени. Теорема доказана.
Из доказанных выше теорем, непосредственно, следует методика поиска критического пути, приводимая ниже.
Рациональная методика поиска критического пути сетевого графика:
1 Просмотр сетевого графика ведётся от его начального события к конечному;
2 При рассмотрении начального события сетевого графика, в качестве работы, лежащей на критическом пути, выбирается та, которая имеет нулевой полный резерв времени. В соответствии с теоремой 3.1 (утверждение-необходимость), такая работа обязательно будет существовать;
3 При рассмотрении работ, исходящих из события, к которому привила работа с нулевым полным резервом времени, выбирается работа, также имеющая нулевой полный резерв времени. В соответствии с теоремой 3.2, такая работа существует;
4 Если, среди исходящих из некоторого события работ, есть несколько работ с нулевыми полными резервами времени, то выбирается любая. При этом, согласно теореме 3.2, процесс построения критического пути в тупик зайти не может, и рано или поздно дойдет до завершающего события сетевого графика.
Реализация указанных правил даёт путь, состоящий только из работ с нулевыми полными резервами времени. Тогда, на основании теоремы 3.1 (утверждение-достаточность), этот путь и будет являться критическим.
В целях проверки, доказанная методика применена для сетевого графика, представленного на рисунке 2.1 . Здесь, найденные критические пути, выделены жирными стрелками. Как видно, таких путей два, благодаря тому, что среди работ, исходящих из события 0, есть две работы с нулевыми полными резервами времени. Проверить то, что найденные пути являются критическими легко, просуммировав длительности принадлежащих им работ. Суммы окажутся: во-первых, равными между собой, а во-вторых, наибольшими среди аналогичных сумм других возможных путей.
Теперь рассмотрим вопрос поиска наикратчайшего пути сетевого графика. Оказывается, для его поиска можно применять, методику поиска критического пути, если использовать идею, высказываемую в следующей теореме.
Теорема 3.3 – Если произвести расчёт параметров заданного сетевого графика по установленным правилам, но заменяя известные длительности работ на те же значения с отрицательным знаком (длительности всех работ будут меньше нуля), то наикратчайший путь сетевого графика станет подчиняться всем свойствам критического пути.
Эту теорему легко доказать, используя правило сравнения отрицательных чисел. Данное правило заключается в том, что одно отрицательное число считается большим другого, если абсолютное значение первого меньше абсолютного значения второго. Поскольку длительность наикратчайшего пути, по абсолютному значению наименьшая, среди длительностей всех других путей сетевого графика, то, на основании указанного правила, отрицательная длительность наикратчайшего пути будет наибольшей среди отрицательных длительностей остальных путей. Тогда, наикратчайший путь, состоящий из работ с отрицательными длительностями, будет критическим, при условии, что все остальные пути, также состоят из работ с отрицательными длительностями. Теорема доказана.
Для проверки доказанной теоремы, параметры сетевого графика на рисунке 2.1 пересчитаны заново, при отрицательных значениях длительностей работ, и представлены на рисунке 2.3. Как видно, сетевой график на рисунке2.3 содержит путь, работы которого имеют только нулевые полные резервы времени. Данный путь выделен жирными стрелками. Этот путь, являясь критическим для сетевого графика на рисунке 2.3, в тоже время является наикратчайшим путем для сетевого графика на рисунке 2.1 . Последнее можно проверить простым суммированием длительностей его работ. Полученная сумма должна быть наименьшей по абсолютному значению, среди аналогичных сумм других путей сетевого графика на рисунке 2.1 .
Вообще говоря, для нахождения продолжительности наикратчайшего пути, необходимой при анализе оптимальности сетевого графика по критерию (1.1), не обязательно суммировать длительности всех, принадлежащих ему работ. Она уже известна из рассчитанных, при отрицательных длительностях работ, параметров сетевого графика, и равна, как и для любого критического пути, сроку свершения завершающего события. Естественно, что данный срок свершения имеет отрицательное значение, и поэтому, для нахождения фактической длительности наикратчайшего пути, требуется менять это значение на противоположное.
Необходимо сказать, что можно поставить и решить общую задачу поиска пути заданной продолжительности. Но данная задача принципиальной важности, при анализе сетевого графика, не несёт. Для анализа оптимальности сетевого графика и осуществления его оптимизации, достаточно знать лишь, как проходят особые пути, и какова их продолжительность.