Понятие и классификация систем массового обслуживания (стр. 2 из 7)
Зная интенсивности переходов можно найти величины p1(t), p2(t),…, pn(t) – вероятности нахождения системы S в состояниях S1, S2,…, Sn соответственно. При этом выполняется условие:
Распределение вероятностей состояний системы, которое можно характеризовать вектором
, называется стационарным, если оно не зависит от времени, т.е. все компоненты вектора 
являются константами.Состояния Si и Sj называются сообщающимися, если возможны переходы
.Состояние Si называется существенным, если всякое Sj, достижимое из Si, является сообщающимся с Si. Состояние Si называется несущественным, если оно не является существенным.
Если существуют предельные вероятности состояний системы:
,не зависящие от начального состояния системы, то говорят, что при
в системе устанавливается стационарный режим.Система, в которой существуют предельные (финальные) вероятности состояний системы, называется эргодической, а протекающий в ней случайный процесс эргодическим.
Теорема 1. Если Si– несущественное состояние, то
т.е. при система выходит из любого несущественного состояния.Теорема 2. Чтобы система с конечным числом состояний имела единственное предельное распределение вероятностей состояний, необходимо и достаточно, чтобы все ее существенные состояния сообщались между собой.
Если случайный процесс, происходящий в системе с дискретными состояниями является непрерывной марковской цепью, то для вероятностей p1(t), р2(t),…, pn(t) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Колмогорова. При составлении уравнений удобно пользоваться графом состояний системы. В левой части каждого из них стоит производная вероятности какого-то (j-го) состояния. В правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых возможен переход в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного (j-го) состояния, умноженная на вероятность данного (j-го) состояния.
3 Процессы рождения и гибели
Так называется широкий класс случайных процессов, происходящих в системе, размеченный граф состояний которой изображен на рис. 3.
Рисунок 2 – Граф состояний для процессов гибели и размножения
Здесь величины
, 
,…, 
– интенсивности переходов системы из состояния в состояние слева направо, можно интерпретировать как интенсивности рождения (возникновения заявок) в системе. Аналогично, величины 
, 
,…, 
– интенсивности переходов системы из состояния в состояние справа налево, можно интерпретировать как интенсивности гибели (выполнения заявок) в системе.Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, существует (в силу теоремы 2) предельное (финальное) распределение вероятностей состояний. Получим формулы для финальных вероятностей состояний системы.
В стационарных условиях для каждого состояния поток, входящий в данное состояние должен равняться потоку, исходящему из данного состояния. Таким образом, имеем:
Для состояния S0:
Следовательно:
Для состояния S1:
Следовательно:
С учетом того, что
: 
Аналогично получаем уравнения для остальных состояний системы. В результате получим систему уравнений:
Решение этой системы будет иметь вид:
(4)
, 
,…, 
(5)4. Основные понятия и классификация систем массового обслуживания
Заявкой (или требованием) называется спрос на удовлетворение какой-либо потребности (далее потребности предполагаются однотипными). Выполнение заявки называется обслуживанием заявки.
Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система для выполнения заявок, поступающих в неё в случайные моменты времени.
Поступление заявки в СМО называется событием. Последовательность событий, заключающихся в поступлении заявок в СМО, называется входящим потоком заявок. Последовательность событий, заключающихся в выполнении заявок в СМО, называется выходящим потоком заявок.
Поток заявок называется простейшим, если он удовлетворяет следующим условиям:
1) отсутствие последействия, т.е. заявки поступают независимо друг от друга;
2) стационарность, т.е. вероятность поступления данного числа заявок на любом временном отрезке [t1; t2] зависит лишь от величины этого отрезка и не зависит от значения t1, что позволяет говорить о среднем числе заявок за единицу времени, λ, называемом интенсивностью потока заявок;
3) ординарность, т.е. в любой момент времени в СМО поступает лишь одна заявка, а поступление одновременно двух и более заявок пренебрежимо мало.
Для простейшего потока вероятность pi(t) поступления в СМО ровно i заявок за время t вычисляется по формуле:
(6)т.е. вероятности распределены по закону Пуассона с параметром λt. По этой причине простейший поток называется также пуассоновским потоком.
Функция распределения F(t) случайного интервала времени T между двумя последовательными заявками по определению равна
. Но 
, где 
– вероятность того, что следующая после последней заявки поступит в СМО по истечении времени t, т.е. за время t в СМО не поступит ни одна заявка. Но вероятность этого события находится из (6) при i = 0. Таким образом: 
(7)Плотность вероятности f(t) случайной величины T определяется формулой:
, 
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины T равны соответственно:
Каналом обслуживания называется устройство в СМО, обслуживающее заявку. СМО, содержащее один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее более одного канала обслуживания – многоканальной.
Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании (в силу занятости всех каналов обслуживания) и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами.
Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью. Очередь может быть ограничена как по количеству мест, так и по времени ожидания. Различают СМО открытого и замкнутого типа. В СМО открытого типа поток заявок не зависит от СМО. В СМО замкнутого типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей – наладчиков, обслуживающих станки на заводе).