Формулы для остальных вероятностей имеют тот же вид, что и для СМО с ограниченной очередью:

Из (27) получим выражение для вероятности образования очереди заявок:

Поскольку очередь не ограничена, то вероятность отказа в обслуживании заявки:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Из формулы (28) при

получим выражение для среднего числа заявок в очереди:

Среднее число обслуживаемых заявок определяется формулой:

Среднее время пребывания в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).

5.7 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Отличие такой СМО от СМО, рассмотренной в подразделе 5.5, состоит в том, что время ожидания обслуживания, когда заявка находится в очереди, считается случайной величиной, распределённой по показательному закону с параметром

, где

– среднее время ожидания заявки в очереди, а

– имеет смысл интенсивности потока ухода заявок из очереди. Граф такой СМО изображён на рисунке 9.

Рисунок 9 – Граф многоканальной СМО с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Остальные обозначения имеют здесь тот же смысл, что и в подразделе.

Сравнение графов на рис. 3 и 9 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

(29)

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5) с учетом (29). В результате получим:

где

. Вероятность образования очереди определяется формулой:

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е. вероятность отказа в обслуживании:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число заявок, находящихся в очереди, находится по формуле (11) и равно:

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, находится по формуле (10) и равно:

Среднее время пребывания заявки в СМО складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания заявки:

6. Метод Монте-Карло

6.1 Основная идея метода

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое

и принимают

в качестве оценки (приближённого значения) a^* искомого числа a:

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний.

6.2 Разыгрывание непрерывной случайной величины

Пусть необходимо получить значения случайной величины

, распределенной в интервале

с плотностью

. Докажем, что значения

можно найти из уравнения

, (30)

где

– случайная величина, равномерно распределенная на интервале

Т.е. выбрав очередное значение

надо решить уравнение (30) и найти очередное значение

. Для доказательства рассмотрим функцию:

Имеем общие свойства плотности вероятности:

(31)

(32)

Из (31) и (32) следует, что

, а производная

Значит, функция

монотонно возрастает от 0 до 1. И любая прямая

, где

, пересекает график функции

в единственной точке, абсциссу которой мы и принимаем за

. Таким образом, уравнение (30) всегда имеет одно и только одно решение.

Выберем теперь произвольный интервал

, содержащийся внутри

. Точкам этого интервала отвечают ординаты кривой, удовлетворяющие неравенству

. Поэтому, если

принадлежит интервалу

, то

принадлежит интервалу

, и наоборот. Значит:

. Т.к.

равномерно распределена в

, то

, а это как раз и означает, что случайная величина

, являющаяся корнем уравнения (30) имеет плотность вероятностей

6.3 Случайная величина с экспоненциальным распределением

Простейшим потоком (или потоком Пуассона) называется такой поток заявок, когда промежуток времени

между двумя последовательными заявками есть случайная величина, распределенная на интервале