Проектирование модели для составления оптимального рациона кормления скота (стр. 3 из 11)

(2.1)

II группа ограничений отражает физиологически допустимые пределы скармливания кормов. Эти дополнительные ограничения показывают верхние пределы отклонений по каждой группе кормов суточной выдачи, представляются следующим образом:

пределы ограничения по физической массе сена

пределы ограничения по физической массе силоса

пределы ограничения по физической массе концентратов

Обобщенная математическая модель записи ограничений II группы имеет вид

(2.2)

III группа ограничений отражает физиологические, зоотехнические или экономические требования по удельному весу отдельных видов кормов рассчитанных на один рацион.

Ограничения будут записываться так:

органичения по физической массе сена

ограничения по физической массе силоса

ограничения по физической массе концентратов

IV группа ограничений будет иметь экспериментальный характер, задача заключается в том, что, как увеличение ресурсов сена и силоса на 1 кг и концентратов на 3 кг. повлияет на оптимальную стоимость.

ограничения по сену

ограничения по силосу

ограничения по концентратам

V группа ограничений – неотрицательность переменных величин:

Запишем теперь целевую функцию:

Стоимость рациона должна быть минимальной

Математическая модель целевой функции имеет вид

(2.3)

где

-стоимость (себестоимость) единицы корма j-го вида.

После построения математической модели пришли к выводу, что заданную задачу целесообразно решать модифицированным симплекс – методом.

3 АЛГОРИТМ МОДИФИЦИРОВАННОГО СИМПЛЕКС-МЕТОДА

При решении экономических задач часто приходится встречаться с такими задачами, у которых ограниченное условие заранее задано равенством и нельзя создать единичную матрицу без проведения дополнительных расчетов. Для решения таких задач используют симплексный метод с искусственным базисом.

1. Привести систему ограничений к каноническому виду.

Если каноническая форма записи не имеет исходного опорного плана, то он строится с помощью дополнительных переменных. Однако независимо от того, используются искусственные переменные или нет, для решения задачи применяется один и тот же алгоритм.

Задача в каноническом виде имеет исходный опорный план

(3.1)

(3.2)

(3.3)

2. Проверить наличие единичного положительного базиса в каждом ограничении.

3. Для применения модифицированного симплекс-метода исходная задача должна быть представлена в канонической форме с начальным опорным планом.

4. Проверяют уравнения на наличие единичного базиса и в те уравнения, где его нет вводятся искусственные переменные, т.е. коэффициенты при которых создают единичную матрицу, причем искусственные переменные нужно вводить со знаком «плюс».

Эти переменные вводятся также в целевую функцию с большими по абсолютной величине коэффициентами «М».Значение «М» можно за раннее задавать.

При решении задач искусственные переменные должны быть введены из оптимального варианта плана. Следовательно, никакого экономического смысла эти коэффициенты не имеют.

При решении задач на максимум в целевую функцию искусственные переменные вводятся с отрицательными коэффициентами «М».

При решении задач на минимум в целевую функцию искусственные переменные вводятся с положительными коэффициентами «М».

5. Построение первого опорного плана и заполнение первой строки z_j-c_j, которая вычисляется так:

z₀=

(графа С* графу в_i) (3.4)

z_j-c_j=

(графа С* коэффициент а_ij)-c_j (3.5)

6. Заполнение строки «М»

Будем считать, что коэффициент «М»=1, следовательно

(графа С (М) * графу в_i ) (3.6)

7.Проверка плана на оптимальность.

Если задача на max, то элементы индексной строки «М» должны быть неотрицательными. Если же хотя бы одна М меньше нуля, то план можно улучшить.

Бывает исключение, если в М – строке (на мах) все положительные элементы, то мы поднимается на строку Zj-Cj и выбираем максимальное отрицательное число.

Если задача на min, то М≤0. Если хоть одна разность больше нуля, то план можно улучшить.

Исключение, если в М – строке (на min) все отрицательные элементы, то мы поднимается на строку Zj-Cj и выбираем максимальное положительное число.

8.Выбор разрешающего столбца.

Если задача на max, то среди отрицательных М выбирается наибольшая по модулю.

Если задача на min, то среди положительных М выбирается наибольшая по модулю.

9. Выбор разрешающей строки.

Находим отношение графы «План вi» к положительным элементам разрешающего столбца и среди них находим минимальное, которое соответствует разрешающей строке. Если же минимальных отношений несколько, то за разрешающую выбирается меньшая по номеру строки, т.е. определили переменную, выводимую из базиса;

10. Выбор разрешающего элемента, находящегося на пересечении разрешающего столбца и строки;

11. Построение следующего опорного плана.

При выводе из базиса элементов с коэффициентом «М», исключаем данный столбец из плана, после чего переносим разрешающую строку путём деления её элементов на разрешающий элемент. При этом вводится новая переменная, соответствующая разрешающему столбцу. Все элементы графы «План bi» и коэффициенты a_ij определяются по правилу прямоугольника:

akp…..	akj
aip…..	aij	Разрешающая строка
Разрешающий столбец

(3.7)

12. Проверка нового опорного плана на оптимальность.

Так повторяется до тех пор, пока полученный план не будет оптимальным; или задача не имеет решений. После этого записывается ответ из графы «План вi».

4 РЕШЕНИЕ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ

4.1 Условие задачи

В состав рациона кормления входят три продукта: сено, силос и концентраты, содержащие питательные вещества: белок, кальций, витамины. Содержание питательных веществ соответствующего продукта питания и минимально необходимые нормы их потребления заданы таблицей:

Таблица 4.1

Продукты	Питательные вещества
	Белок	Кальций	Витамины
Сено	50	6	2
Силос	20	4	1
Концентраты	180	3	1
Нормы потребления	2000	120	40

Используя эти данные, решить следующие задачи:

1 Определить оптимальный рацион кормления из условия минимальной стоимости, если цена 1 кг продукта питания соответственно составляет : сена –3 коп., силоса – 2 коп., и концентратов – 5 коп.

2. Решить задачу 1, если заданы дополнительные предельные нормы суточной выдачи: сена не более 12 кг, силоса – не более 20 кг и концентратов – не более 16 кг.

3. Включить в задачу 2 условие ограниченности ресурсов продуктов на один рацион: сена – не более 10 кг, силоса – не более 15 кг и концентратов – не более 20 кг.

4. Определить влияние на оптимальную стоимость рациона увеличения ресурсов сена и силоса на 1 кг и концентратов на 3 кг.

5. В найденном (в задаче 2) оптимальном рацион заменить 1 кг сена на силос или концентраты. Определить, при какой замене минимальная стоимость измениться наименьшим образом.

4.2 Решение задачи в ручную

Задача 1

Приведем задачу у виду удобному для решения

Заполним симплекс – таблицу

Таблица 4.2

№	Базис		С	План	3	2	5	0	0	0	М	М	М
I			М	2000	50	20	<180>	-1	0	0	1	0	0
			М	120	6	4	3	0	-1	0	0	1	0
			М	40	2	1	1	0	0	-1	0	0	1
			0	-3	-2	-5	0	0	0	0	0	0
	М		2160	58	25	184	-1	-1	-1	0	0	0
II			5	11.11	0.28	0.11	1	-0.006	0	0	0	0
			М	86.67	<5.17>	3.67	0	0.017	-1	0	1	0
			М	28.89	1.72	0.89	0	0.006	0	-1	0	1
			55.55	-1.6	-1.45	0	-0.03	0	0	0	0
	М		115.56	6.89	4.56	0	0.23	-1	-1	0	0
№	Базис	С		План	3	2	5	0	0	0	М	М	М
III		5		6.45	0	-0.03	1	-0.006	0	0.17	0.07
		М		0	0	1	0	0	-1	<3>	0
		3		16.77	1	0.51	0	0.003	0	-0.58	-0.003
		82.56	0	-0.62	0	-0.021	0.34
	М	0	0	1	0	0	-1	3	0
IV		5		6.45	0	-0.09	1	-0.007	0.054	0
		0		0	0	0.33	0	0	-0.33	1
		3		16.77	1	0.71	0	0.003	-0.19	0
		82.58	0	-0.3	0	-0.023	-0.31	0

Оптимальный рацион для скота включает корма: сена – 16.77, концентратов – 6.45. Стоимость рациона составила 82.58 копеек.