Производная и ее применение в экономической теории (стр. 3 из 5)
.Для хозяйствующего субъекта, который действует в условиях совершенной конкуренции: TR = P*Q, где TR – выручка (total revenue); P – цена (price). Таким образом
, Þ MR= P. Это равенство верно для рынка совершенной конкуренции.Любой индивид использует свой доход Y после уплаты налогов на потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом целиком используют его на потребление, а на сбережение средств не остается. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено экономической наукой, потребление и сбережение зависят от размера дохода:
Y= C(Y) + S(Y).
Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода:
.По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS (marginal propensity to save):
С увеличением доходов MPS увеличивается.
Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию – предельный продукт труда MPL (marginal product of labor) – это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда при неизменной величине капитала:
.Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то
,так как dY - результат, dL - затраты, то MPL – предельная производительность труда.
Аналогично, MPK (marginal product of capital) – предельный продукт капитала – дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:
.Если вложения осуществляются малыми порциями, то
.MPk характеризует предельную производительность капитала.
Категория предельной полезностиMU(marginal utility) выражает дополнительную полезность от каждой дополнительной потреблённой единицы блага:
При бесконечно малых изменениях предельная полезность есть производная от совокупной полезности, которая представлена как функция от потребляемого количества продукта:
2.2 Эластичность спроса и предложения
Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности функции.
Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим.
Эластичностью функции Еxy(x0) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при Dx®0:
.Коэффициент эластичности y по х показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.
Очень широко применяется понятие эластичности в экономическом анализе.
В экономике существует несколько видов эластичности.
- Эластичность спроса по цене (прямая)
показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены этого блага на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию.
Если
=0, то спрос на данный товар называется абсолютно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается – количество покупаемого товара не изменяется; цена растёт – количество покупаемого товара также не изменяется. К подобным товарам относятся инсулин, товары Гиффена (товары первой необходимости) и т.д.Если
0, то спрос на данный товар называется неэластичным или относительно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается – темп роста спроса ниже темпа снижения цены; цена растёт – темп снижения спроса ниже темпа роста цены.Если
=1, то говорят, что товар имеет единичную эластичность. Поведение покупателя: цена снижается – темп роста спроса равен темпу снижения цены; цена растёт – темп снижения спроса равен темпу роста цены.Если
>1, то спрос на данный товар называется эластичным или относительно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается – темп роста спроса выше темпа снижения цены; цена растёт – темп снижения спроса выше темпа роста цены.Если
, то спрос на данный товар называется абсолютно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается – объём покупок неограниченно возрастает; цена растёт – объём покупок падает почти до нуля.- Эластичность спроса по доходу
характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителя этого блага на один процент. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует качественные (супериорные) товары, отрицательная – некачественные (инфериорные) товары.
Так, высокий положительный коэффициент эластичности спроса по доходу в отрасли указывает, что её вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то её может ожидать застой и перспектива сокращения производства.
- Ценовая эластичность ресурсов
характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработной платы) на один процент.
3. Приложение производной в экономической теории
Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем. Для примера рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма.
Пусть q – выпуск продукции (в натуральных единицах); TR(q) – выручка от продаж; TC(q) – издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Тогда прибыль
Предположим, что выполняются следующие условия:
1) Функции TR(q), TC(q) определены на полуинтервале
и дифференцируемы при q>0.2) Максимум прибыли достигается в некоторой точке q* 
0.
В случае, когда максимум прибыли положителен
, условие q* 0 естественным образом выполняется, поскольку 
(нет выпуска – нет выручки, нет выручки – нет прибыли).Итак, условия 1), 2) выполнены. Тогда функция
дифференцируема и имеет на интервале 
максимум в точке q* 0. По теореме Ферма, 
. Так как 
, то в точке q=q* получаем равенствоTR'(q*)=TC'(q*) илиMR=MC.
В экономической теории данное равенство иллюстрирует один из базовых законов теории производства, согласно которому фирма, максимизирующая свою прибыль, устанавливает объём производства таким образом, чтобы предельная выручка была равна предельным издержкам.