Производная и ее применение в экономической теории (стр. 1 из 5)
Министерство образования и науки Украины
Донецкий национальный технический университет
РЕФЕРАТ
по высшей математике
на тему:
«Производная и ее применение в экономической теории»
Донецк – 2008
Вступление
Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).
Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.
Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной,какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.
1.Определение производной
Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х0. Для любой точки х из этой окрестности приращение Dx определяется формулой Dx=х – х0, откуда х=х0+Dx.
Приращением функции y=f(x) в точке х0 называется разность
Dу=f(x) – f(x0)=f(x0+Dx) – f(x0).
Производной от функции у=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (
), когда приращение аргумента стремится к нулю (Dx→0).Производная функции у=f(x) в точке х0 обозначается y'(х0) или f'(х0). Определение производной можно записать в виде формулы:
'( 
)= 
= 
.Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х0. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, она дифференцируема на всём этом промежутке.
Конечно,
может не существовать. В этом случае говорят, что функция f(x) не имеет производной в точке х0. Если 
равен 
или 
, то говорят, что функция f(x) имеет в точке х0бесконечную производную (равную или , соответственно).1.1 Геометрический смысл понятия производной
Пусть на плоскости x0y дана непрерывная кривая y=f(x)(см. рис. 1).
Рассмотрим на графике кривой точки Mo(xo;f(xo)) и M1(xo+Dx; f(xo+Dx)). Проведем секущую MoM1. Пусть
– угол наклона секущей MoM1 относительно оси 0х. Если существует предел 
, то прямая, проходящая через Moи образующая с осью 0х угол 
, называется касательной к графику данной кривой в точке Mo. Таким образом, под касательной к кривой y=f(х) в точке Mo естественно понимать предельное положение секущей MoM1, к которому она стремится, когда Dx®0.Пусть N(xo+Dx; f(xo)) – точка, дополняющая отрезок MoM1до прямоугольного треугольника MoM1N. Так как сторона MoN параллельна оси 0х, то
Переходя к пределу в левой и правой частях этого равенства при Dx→0, получим
Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f’(x0) – это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной к графику y=f(х) в точке (xo; f(xo)).
Найдём уравнение касательной к графику в точке Mo(xo; f(xo)) в виде y=kx+b. Так как Mo 
f(x), то должно выполняться равенство f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0) – kx0. Следовательно, касательная задаётся уравнением
y=kx+f(x0) – kx0=f(x0)+k(x – x0).
Поскольку k=f'(x0), то уравнение касательной имеет вид
y=f(x0)+f'(x0)(x – x0).
Как вычисляют производную?
1. Записывают функцию в виде y=f(х).
2. Вычисляют Dy – приращение функции: Dу=f(x+Dx) – f(x).
3. Составляют отношение
4. Представляют, что Dx стремится к нулю, и переходят к пределу
= y'(х0).5. Вычисляют производную в точке х0: y'(х) 
= y'(х0).
Операция вычисления производной называется дифференцированием.
Примеры дифференцирования:
1.
Dy=a(x+Dx)2 – ax2=2axDx+aDx2;
=2ax+Dx; =2ax,Þ(ах2)'=2ax.2.
; 
= 
; =3x2,Þ(x3)'=3x2.3.
; = – 
, Þ 
1.2 Дифференциал функции
Дифференциалом функции f(х) в точке х0называется линейная функция приращения
вида 
Дифференциал функции y=f(х) обозначается dy или df(x0). Главное назначение дифференциала состоит в том, чтобы заменить приращение
на линейную функцию от , совершив при этом, по возможности, меньшую ошибку.Наличие конечной производной
даёт возможность представить приращение функции в виде 
где
при 
. Из этого следует, что ошибка в приближённом равенстве 
(равная 
) является бесконечно малой более высокого порядка, чем , когда . Это часто используют при приближённых вычислениях.