Розвиток теорії надання банківських послуг на прикладі ДФ АБ "Правексбанк" (стр. 8 из 13)
Формула (2.10) є аналогом коефіцієнта конкордації Кенделла, але не має обмежень, що покладаються на формулу Кенделла. Наприклад, для знаходження кореляції між результатами, формула Кенделла потребує рангового перетворення з наступним усередненням показників для рівних рангів. Подібні перетворення потребують додаткових затрат часу, як за рахунок винятково затрат на перетворення, так и за рахунок перекладу вихідних даних у речове представлення.
Модифікований коефіцієнт конкордації може працювати безпосередньо з вихідними даними. При цьому необхідно або зменшити все значення сукупності на величину мінімального значення, або привести (2.9) до виду
, (2.11)де n - об’єм вибірки,
k - максимально можливе значення ознаки,
m - мінімально можливе значення ознаки.
Парний двухвибірковий t—тест для середніх використовується для перевірки гіпотези про розходження середніх для двох вибірок даних. У ньому не передбачається рівність дисперсій генеральних сукупностей, з яких обрані дані.
Алгоритм розрахунку включає в себе наступні етапи:
1) Знайти різницю парних варіант.
2) Обчислити середню різницю
, (2.12)де
- сума різниць парних варіант, 
- число парних спостережень.3) Визначити відхилення різниць парних варіант від середньої різниці, звести їх у квадрат і підсумувати отримані результати.
, (2.13)4) Обчислити дисперсію.
, (2.14)5) Обчислити помилку середньої.
(2.15)6) Обчислити t-статистику
(2.16)7) Обчислити число ступенів свободи
(2.17)8) Визначити вірогідність розходжень, звіряючи отримані результати з табличними.
2.2 Методи оптимізації
Лінійне програмування – це розділ прикладної математики, що має справу з теорією і чисельними методами оптимізації лінійних функцій при наявності обмежень, що описуються кінцевими системами лінійних нерівностей.
Задачами лінійного програмування називають оптимізаційні задачі, що мають такі особливості: 1) Критерій оптимізації являє собою лінійну функцію від невідомих задачі х1, х2,.. хn; 2) обмеження, що накладаються на можливі розв’язки мають тип лінійних рівностей або нерівностей; 3) змінні приймають ненегативні значення.
Перші постановки задач лінійного програмування буди сформульовані відомим радянським математиком Л.В. Канторовичем, якому за ці роботи була присуджена Нобелівська премія по економіці. Значний розвиток теорія й алгоритмічний апарат лінійного програмування одержали з винаходом та поширення ЕОМ і формулюванням американським математиком Дж. Данцингом симплекс-методу.
У наш час лінійне програмування є одним з найбільш вживаних апаратів математичної теорії оптимального ухвалення рішення економічних задач різноманітного змісту. Для розв'язання задач лінійного програмування розроблене складне програмне забезпечення, що дає можливість ефективно і надійно вирішувати практичні задачі великих обсягів. Ці програми і системи мають розвинені системі підготовки вхідних даних, засобами їхнього аналізу і представлення отриманих результатів.
У розвиток і удосконалення цих систем вкладені праця і талант багатьох математиків, акумульований досвід рішення тисяч задач. Володіння апаратом лінійного програмування необхідно кожному економісту, що застосовує у своїй роботі методи прикладної математики.
Термін "програмування", що входить в назву цього метода, не повинен вводити в оману, тому що мова йде не про програмування електронно-обчислювальних машин. Цей термін сходить до загального змісту слова "програма" – план, керівництво до дії и як така, дисципліна "лінійне програмування" являє собою математичну теорію визначення найкращих планів дії у визначених економічних ситуаціях.
Що це за ситуації? У першу чергу їх можна охарактеризувати наявністю однієї добре визначеної мети чи критерію. Вона повинна вимірятися у визначених одиницях і однозначно визначатися обраним планом дій. Більш придатним прикладом може бути доход від діяльності підприємства, а планом дій, у даному випадку, може бути виробнича програма підприємства.
З погляду математики виробничу програму підприємства в першому наближенні можна записати як набір чисел х1, х2,.. хn, де хі позначає запланований випуск виробів і-го типу, n – кількість типів виробів.
Якщо сі – доход зробленого виробу і-го типу і кожен зроблений виріб купується по одній і тій же ціні, то сумарний дохід підприємства є простою сумою
, (2.18)що відбиває присутність терміна "лінійне" у назві "лінійне програмування".
Сума (2.18) є лінійною функцією величин і, звичайно, лише приблизно відбиває економічні реалії. У цьому випадку при збільшенні випуску усіх виробів у тисячі разів, доход підприємства зріс би також у тисячу разів. У реальній економіці при значному зростанні виробництва починають працювати такі фактори як насичення ринку, збільшення конкуренції, зростання виробничих витрат і ін., що, звичайно, знижує прибутковість і не відбувається в такій простій формулі, як (2.18). Зростання масштабів виробництва може не тільки знижувати прибутковість, але й підвищувати її, наприклад при переході від кустарного чи дрібносерійного виробництва до крупносерійного витрати, у розрахунку на один виріб, можуть зменшуватися і відповідно прибутковість підвищиться.
Іншим невід’ємним елементом економічної ситуації, на прикладі де безпосередньо застосуємо підхід лінійного програмування, є обмеження, що накладаються на можливі варіанти планів виробництва. Найчастіше, це ресурсні обмеження, що описують той факт, що: 1) для виробництва товарів приходиться витрачати ресурси; 2) кількість ресурсів, яку можна затратити на виробництво товарів обмежено.
Систему обмежень можна записати як:
, (2.19)де аij– кількість одиниць i-го ресурсу для виготовлення j-го виробу;
bi– кількість одиниць i-го ресурсу в наявності;
m – кількість ресурсів.
З погляду економіста, застосування лінійного програмування означає, у такий спосіб:
1) визначення структури задачі – що в ній є критерієм, які в ній присутні обмеження, якими змінними величинами ми можемо керувати, у чому полягає бажаний економічний ефект;
2) збір необхідної інформації, часто шляхом статистичних досліджень, аналізу ринку, прогнозів і ін., значень коефіцієнтів задачі;
3) підготовка задачі до рішення. Оскільки зараз це робиться, як правило, за допомогою обчислювальних машин, цей крок у рішенні задачі являє собою перенесення даних і опису задачі у спеціальну форму, що читається. Для цього застосовуються спеціальні формати даних і програмні системи;
4) рішення задачі. Для цього існує безліч високоефективних програм для найрізноманітніших обчислювальних платформ, від суперкомп’ютерів до персональних ЕОМ. Завдяки праці багатьох математиків і програмістів алгоритми і програми доведені до настільки високого ступеня досконалості, що на цій стадії рідко виникають обчислювальні проблеми. Значно частіше на цій стадії виявляються дефекти постановки задачі, помилки у підготовці або в описі структури задачі. Ефект таких помилок є часто дуже несподіваним і їхнє виправлення вимагає як високої математичної кваліфікації, так і знання конкретної області застосування;
5) аналіз результатів. Це заключна і, по суті справи, найбільш важлива частина процесу. Треба мати на увазі, що в ході рішення задачі лінійного програмування, як правило, визначається не тільки власне оптимальний план, але й великий об’єм супутньої інформації, що дуже коштовна для економічного аналізу і планування.
З усього вищенаведеного ясно, що сучасному економісту необхідно добре розбиратися в математичних основах лінійного програмування для того, щоб успішно застосовувати цей могутній апарат економічного аналізу і планування.
2.2.1 Метод Ньютона
Якщо виходити з того, що необхідним етапом знаходження рішення задачі:
(2.20)де f:Rm R, є етап знаходження стаціонарних точок, тобто точок, задовольняючих рівнянню:
(2.21)(позначення F для f ми зберігатимемо), тож можна спробувати вирішувати рівняння (2.21) відомим методом Ньютона рішення нелінійних рівнянь:
xn+1 = xn [F (xn)]1F(xn). (2.22)
Для задачі (2.20) цей метод називається методом Ньютона безумовній оптимізації і задається формулою:
xn+1 = xn [f (xn)]1f (xn). (2.23)
Формулу (2.22) можна вивести, виходячи з таких міркувань. Припустімо, що xn — деяке наближене рішення рівняння (2.21). Тоді якщо замінити функцію F в рівнянні (2.21) її лінійним наближенням: