Сущность, модели, границы применения метода производственной функции (стр. 6 из 9)
 | (*) |
Нетрудно видеть, что при увеличении цены ( р ) оптимальный выпуск, а также прибыль увеличиваются, т.е.
Это верно также и в общем случае, так как
Пример. Фирма производит сельскохозяйственные машины в количестве у штук, причем объем производства в принципе может изменяться от 50 до 220 штук в месяц. При этом естественно увеличение объема производства потребует увеличения затрат как пропорциональных, так и сверхпропорциональных (нелинейных), поскольку потребуется приобрести новое оборудование и расширить производственные площади.
В конкретном примере будем исходить из того, что общие издержки (себестоимость) на производство продукции в количестве у изделий выражаются формулой
C ( y ) = 1000 + 20 y + 0,1 y 2 (тыс. руб.).
Это означает, что постоянные издержки
C 0 = 1000 (т. руб.),
пропорциональные затраты
C 1 = 20 y ,
т.е. обобщенный показатель этих затрат в расчете на одно изделие равен: а = 20 тыс. руб., а нелинейные затраты составят C 2 = 0,1 y 2 ( b = 0,1).
Приведенная выше формула для издержек является частным случаем общей формулы, где показатель h = 2.
Для нахождения оптимального объема производства воспользуемся формулой точки максимума прибыли (*), согласно которой имеем:
Совершенно очевидно, что объем производства, при котором достигается максимальная прибыль, весьма существенно определяется рыночной ценой изделия p .
В табл. 1 представлены результаты расчета оптимальных объемов при различных значениях цены от 40 до 60 тыс. рублей за изделие.
В первом столбце таблицы фигурируют возможные объемы выпуска у , второй столбец содержит данные о полных издержках С ( у ), в третьем столбце представлена себестоимость в расчете на одно изделие:
Таблица 1
Данные об объемах выпуска, затратах и прибыли
| Объемы и затраты | Цены и прибыли | ||||||||
| Y | C | AC | MC | 40 | 42 | 44 | 50 | 54 | 60 |
| 50 | 2250 | 45 | 30 | - 250 | - 150 | - 50 | 250 | 450 | 740 |
| 33 | |||||||||
| 80 | 3240 | 40,5 | 36 | -40 | +120 | 280 | 760 | 1080 | 1560 |
| 38 | |||||||||
| 100 | 4000 | 40 | 40 | 0 | 200 | 400 | 1000 | 1400 | 2000 |
| 41 | |||||||||
| 110 | 4410 | 40,1 | 42 | - 10 | 210 | 430 | 1090 | 1530 | 2190 |
| 43 | |||||||||
| 120 | 4840 | 40,3 | 44 | - 40 | 200 | 440 | 1160 | 1640 | 2360 |
| 47 | |||||||||
| Продолжение таблицы 1 | |||||||||
| 150 | 6250 | 41,7 | 50 | - 250 | 50 | 350 | 1250 | 1850 | 2750 |
| 52 | |||||||||
| 170 | 7290 | 42,9 | 54 | - 490 | - 150 | 190 | 1210 | 1890 | 2910 |
| 57 | |||||||||
| 200 | 9000 | 45 | 60 | - 1000 | - 600 | - 200 | 1000 | 1800 | 3000 |
| 62 | |||||||||
| 220 | 10240 | 46,5 | 64 | - 1440 | - 1000 | - 560 | 760 | 1640 | 2960 |
Четвертый столбец характеризует значения указанных выше маргинальных издержек МС , которые показывают, во сколько обходится производство одного дополнительного изделия в данной ситуации. Нетрудно заметить, что маргинальные издержки возрастают по мере роста производства, что хорошо согласуется с положением, высказанным в начале этого параграфа. При рассмотрении таблицы следует обратить внимание на то, что оптимальные объемы находятся точно на пересечении строки (маргинальные издержки МС) и столбца (цена p) с равными их значениями, что совершенно аккуратно соотносится с правилом оптимальности, установленным выше.
Проведенный выше анализ относится к обстановке совершенной конкуренции, когда производитель не может повлиять своими действиями на систему цен, и поэтому цена p на товар y выступает в модели производителя как экзогенная величина.
В случае же несовершенной конкуренции производитель может оказывать непосредственное влияние на цену. В особенности это относится к монопольному производителю товара, который формирует цену из соображения разумной рентабельности.
Рассмотрим фирму с линейной функцией издержек, которая определяет цену таким образом, чтобы прибыль составляла определенный процент (долю 0 < g < 1) от валового дохода, т.е.
Отсюда имеем
Валовой доход
и производство оказывается безубыточным, начиная с самых малых объемов производства ( y w 0). Легко видеть, что цена зависит от объема, т.е. p = p ( y ), и при увеличении объема производства ( у ) цена товара уменьшается, т.е. p' ( y ) < 0. Это положение имеет место для монополиста и в общем случае.
Требование максимизации прибыли для монополиста имеет вид
Предполагая по-прежнему, что
имеем уравнение для нахождения оптимального выпуска ( 
): 
Полезно заметить, что оптимальный выпуск монополиста (
) как правило, не превосходит оптимального выпуска конкурентного производителя в формуле, помеченной звездочкой (С.37).Более реалистичная (но также простая) модель фирмы используется для того, чтобы учесть ресурсные ограничения, которые играют очень большую роль в хозяйственной деятельности производителей. В модели выделяется один наиболее дефицитный ресурс (рабочая сила, основные фонды, редкий материал, энергия и т.п.) и предполагается, что фирма может его использовать не более чем в количестве Q . Фирма может производить n различных продуктов. Пусть y 1 , ..., y j , ..., y n искомые объемы производства этих продуктов; p 1 , ..., p j , ..., p n их цены. Пусть также q цена единицы дефицитного ресурса. Тогда валовой доход фирмы равен
а прибыль составит
Легко видеть, что при фиксированных q и Q задача о максимизации прибыли преобразуется в задачу максимизации валового дохода.
Предположим далее, что функция издержек ресурса для каждого продукта C j ( y j ) обладает теми же свойствами, которые были высказаны выше для функции С ( у ). Таким образом, C j ' ( y j ) > 0 и C j '' ( y j ) > 0.
В окончательном виде модель оптимального поведения фирмы с одним ограниченным ресурсом следующая:
Нетрудно видеть, что в достаточно общем случае решение этой оптимизационной задачи находится путем исследования системы уравнений:
 | (**) |
Где jмножитель Лагранжа.
Заметим, что соотношение
является по существу аналогом отмеченного выше совпадения в оптимальной точке маргинального дохода и маргинальных издержек. В случае квадратичных функций издержек
из системы уравнений (**) имеем:
 | (***) |
Заметим, что оптимальный выбор фирмы зависит от всей совокупности цен на продукты ( p 1 , ..., p n ), причем этот выбор является однородной функцией системы цен, т.е. при одновременном изменении цен в одинаковое число раз оптимальные выпуски
не изменяются. Нетрудно видеть также, что из уравнений, помеченных звездочками (***), следует, что при увеличении цены на продукт n (при неизменных ценах на другие продукты) его выпуск следует увеличить с целью получения максимальной прибыли, так как
а производство остальных товаров уменьшится, так как
Эти соотношения в совокупности показывают, что в данной модели все продукты являются конкурирующими. Из формулы (***) вытекает также очевидное соотношение
т.е. при увеличении объема ресурса (капиталовложений, рабочей силы и т.п.) оптимальные выпуски увеличиваются.