Теория вероятностей (стр. 2 из 4)

2) Вычислим числовые характеристики случайной величины Х:

Математическое ожидание М(Х) =

,

Дисперсия D(X)=

Cреднее квадратическое отклонение

(Х)=

3) Построим графики функций F(

) и p(

).

Ответ: 1)

2) М(Х)=1, D(X)=

,

=

Задание 5

Детали, выпускаемые цехом, по размерам распределяются по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание а=8 см, дисперсия

.

Определить:

1. вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры от

до

;

2. в каких границах следует ожидать размер диаметра, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна р=0,9934.

Решение:

1. Для вычисления вероятности того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры от

до , воспользуемся формулой, по которой найдем вероятность попадания нормальной СВ Х в интервал :

где Ф(х) - функция Лапласа.

Значит вероятность равна:

По таблице значений функции Лапласа находим:

, .

Значит,

2. Рассмотрим событие

, где . Будем считать, что вероятность этого события равна р=0,9934:

По условию известно, что а=8

и .

Так как

Значит, по таблице значений функции Лапласа находим, что

. Следовательно, .

Из неравенства

, получаем

Значит, с вероятностью 0,9934 следует ожидать, что контролируемый размер детали будет заключен в границах от 7,7824 см до 8,2176 см.

Задание 6

В результате статистических наблюдений некоторой совокупности относительно количественного признака Х были получены данные, записанные в виде статистического ряда.

22	19	21	21	18	22	19	23	23	16
22	23	17	23	28	24	22	19	24	20
24	22	26	21	16	12	19	24	23	21
26	24	19	14	25	21	26	18	18	28
21	21	18	17	24	18	31	21	18	22
21	21	21	19	11	24	16	20	22	15
25	23	21	22	18	17	19	19	27	13
23	13	27	24	25	21	24	17	18	19
24	19	17	24	16	24	24	19	25	20
21	16	16	20	19

Требуется:

1. составить дискретный или интервальный ряд распределения частот и относительных частот СВ Х и построить полигон или гистограмму частот;

2. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины и построить ее график.

3. Вычислить числовые характеристики данного эмпирического распределения: среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. выдвинуть гипотезу о виде распределения рассматриваемой СВ Х. Обосновать выбор вида распределения. Написать аналитическое выражение функции плотности для выбранного распределения, найти теоретические частоты и теоретическую интегральную функцию распределения.

5. приняв уровень значимости 0,05 или 0,01, по критерию согласия Пирсона проверить гипотезу о виде распределения;

6. для подтвердившегося нормального распределения найти вероятность попадания признака в интервал

Решение:

1. Для построения интервального ряда расположим различные значения признака в порядке возрастания значений. И посчитаем частоту каждого из значений. Получаем таблицу 2.

xi	mx	xi	mx	xi	mx
11	1	20	4	31	1
12	1	21	14
13	2	22	8
14	1	23	7
15	1	24	13
16	6	25	4
17	5	26	3
18	8	27	2
19	12	28	2

Таким образом, видим, что x_min=11; x_max=31. Разобьем множество значений выборки на интервалы.

Найдем длину интервала:

Длина каждого интервала будет равна:

Таким образом, получаем вариационный ряд:

интервал		середина интервала, xi	частота, mi
11	15	13	6
15	19	17	31
19	23	21	33
23	27	25	22
27	31	29	3
Σ	95

2. Строим гистограмму и полигон частостей случайной величины.

а) Для построения полигона частот на оси абсцисс откладываем варианты х_i (середины данных интервалов), а на оси ординат - соответствующие им частоты; соединив точки (x_i;m_x) получим искомый полигон частот.

б) Для построения гистограммы частот, на оси абсцисс откладываем заданные интервалы длины h=4. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся на расстояниях, равных соответствующим частотам.

3. Найдем эмпирическую функцию распределения СВ и построим ее график.

Для построения эмпирической функции распределения F^* воспользуемся округлением, то есть снова возьмем середины интервалов.

При значениях аргумента, лежащих левее середины первого интервала, то есть при

.

При значениях х, заключенных в интервале

, .

При значениях х, заключенных в интервале

,

При значениях х, заключенных в интервале

,

При значениях х, заключенных в интервале

,

При значениях х, заключенных в интервале

,

Таким образом, получаем значения и график эмпирической функции распределения: