Теория вероятностей (стр. 3 из 4)

4. Вычислим основные числовые характеристики данного эмпирического распределения:

Для упрощения расчетов составим таблицу:

интервал		середина интервала, xi	частота, mi	ximi	xi2mi
11	15	13	6	78	1014
15	19	17	31	527	8959
19	23	21	33	693	14553
23	27	25	22	550	13750
27	31	29	3	87	2523
Σ	95	1935	40799

Таким образом,

выборочная средняя равна:

выборочная дисперсия:

выборочное среднее квадратическое отклонение:

Найдем точечные оценки параметров нормального распределения.

Точечной оценкой математического ожидания является выборочная средняя:

Точечной несмещенной оценкой дисперсии является несмещенная выборочная дисперсия:

тогда

Гипотетическая функция плотности соответствующего нормального распределения имеет вид:

Функция распределения имеет вид:

5. Проверим гипотезу о том, что данные получены из нормально распределенной генеральной совокупности с уровнем значимости a=0,01.

Составим расчетную таблицу.

интервал		середина интервала, xi	частота, mi					pi	n'i=npi	mi-n'i	(mi-n'i)2	(mi-n'i)2/n'i
11	15	13	6	-1,40	-0,500	-0,419	0,081	7,676	-1,676	2,808976	0,365943
15	19	17	31	-1,40	-0,36	-0,419	-0,141	0,279	26,467	4,533	20,548089	0,776366
19	23	21	33	-0,36	0,69	-0,141	0,255	0,396	37,5725	-4,5725	20,90775625	0,556464
23	27	25	22	0,69	1,73	0,255	0,458	0,203	19,3135	2,6865	7,21728225	0,373691
27	31	29	3	1,73	0,458	0,500	0,042	3,971	-0,971	0,942841	0,237432
Σ	95	1,000	95	2,309896

Где

. Таким образом .

По таблице критических точек распределения

, по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку правосторонней критической области .

Так как

- гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем.

Теперь для отыскания вероятности попадания признака Х в интервал
(20,37-5;20,37+3)=(15,37;23,37) воспользуемся формулой:

где Ф(х) - функция Лапласа.

У нас

Задание 7

Приводятся результаты наблюдений (х_i;y_i) над двумерной СВ (Х,У). Используя эти экспериментальные данные, необходимо:

1)определить числовые характеристики выборки

;

2)условные средние значения величин Х и Y;

3)коэффициент корреляции;

4)параметры эмпирической линейной функции регрессии Y на Х и X на Y и построить их графики;

5)При уровне значимости α=0,05 проверить адекватность линейной регрессии исходным данным.

6)написать выборочные уравнения прямых линий регрессии у на х и х на у;

7)вычислить коэффициент корреляции и проверить гипотезу о значимости коэффициента линейной корреляции при α=0,01;

5	9	13	17	21	25	nу
3	3	3
8	6	7	2	15
13	4	10	25	39
18	8	7	4	19
23	5	2	7
28	3	1	1	2	7
nх	3	18	20	37	7	5	90

Решение:

Для всех вычислений, составим таблицу:

5	9	13	17		21		25	nх	nхx	nхx2
3		3	3	9	27
8		6		7		2	15	120	960
13		4	10	25		39	507	6591
18		8	7	4		19	342	6156
23		5	2	7	161	3703
28		3	1	1	2		7	196	5488
ny		3	18	20	37		7		5	90	1335	22925
nyy		15	162	260	629		147		125	1338
nyy2		75	1458	3380	10693		3087		3125	21818
XiYj mxy
0	0	0	0	0	225
0	0	0	816	1176	400
0	468	1690	5525	0	0
0	1296	1638	1224	0	0
0	1035	598	0	0	0
420	252	364	952	0	0
18079

1) Найдем средние, дисперсии, исправленные дисперсии, среднеквадратические отклонения:

Найдем выборочные средние

Найдем выборочные дисперсии

Выборочные среднеквадратические отклонения

2) Найдем условные средние значения величин Х и Y.

Оформим полученные данные в таблице:

yj	3	8	13	18	23	28
	28	18.83	16.5	13.54	8	5

хi	5	9	13	17	21	25
	25	19.93	15.15	12.16	10.14	10.14

3) Найдем коэффициент корреляции;

Найдем коэффициент корреляции:

4) Проверим значимость коэффициента корреляции на уровне a=0,01

Вычислим статистику

.

По статистическим таблицам найдем квантиль распределения Стьюдента с
n-2=88 степенями свободы и заданной надежностью a=0,01 –

. Так как , то значение коэффициента корреляции считаем значимым с заданным уровнем надежности.