Корреляционный анализ (стр. 3 из 5)
Определяем критические значения для полученного коэффициента корреляции по таблице. При нахождении критических значений для вычисленного коэффициента линейной корреляции Пирсона число степеней свободы рассчитывается как f = n – 2 = 8. rкрит=0,72 > 0,54 , следовательно, гипотеза Н1 отвергается и принимается гипотеза H0, иными словами, связь между временем решения наглядно-образных и вербальных заданий теста не доказана[1].
1.7Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
Если потребуется установить связь между двумя признаками, значения которых в генеральной совокупности распределены не по нормальному закону, т. е. предположение о том, что двумерная выборка (xi и yi) получена из двумерной нормальной генеральной совокупности, не принимается, то можно воспользоваться коэффициентом ранговой корреляции Спирмена (
): 
где dx и dy – ранги показателей xi и yi; n – число коррелируемых пар.
Коэффициент ранговой корреляции также имеет пределы 1 и –1. Если ранги одинаковы для всех значений xi и yi, то все разности рангов (dx - dy) = 0 и = 1. Если ранги xi и yi расположены в обратном порядке, то
= -1. Таким образом, коэффициент ранговой корреляции является мерой совпадения рангов значений xi и yi.Когда ранги всех значений xi и yi строго совпадают или расположены в обратном порядке, между случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость, причем эта зависимость не обязательно линейная, как в случае с коэффициентом линейной корреляции Браве-Пирсона, а может быть любой монотонной зависимостью (т. е. постоянно возрастающей или постоянно убывающей зависимостью). Если зависимость монотонно возрастающая, то ранги значений xi и yi совпадают и
= 1; если зависимость монотонно убывающая, то ранги обратны и = –1. Следовательно, коэффициент ранговой корреляции является мерой любой монотонной зависимости между случайными величинами Х и Y.Из формулы видно, что для вычисления
необходимо сначала проставить ранги (dx и dy) показателей xi и yi, найти разности рангов (dx - dy) для каждой пары показателей и квадраты этих разностей (dx - dy)2. Зная эти значения, находятся суммы 
, учитывая, что 
всегда равна нулю. Затем, вычислив значение , необходимо определить достоверность найденного коэффициента корреляции, сравнив его фактическое значение с табличным. Если 
, то можно говорить о том, что между признаками наблюдается достоверная взаимосвязь. Если 
, то между признаками наблюдается недостоверная корреляционная взаимосвязь.Коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляется значительно проще, чем коэффициент корреляции Браве-Пирсона при одних и тех же исходных данных, поскольку при вычислении используются ранги, представляющие собой обычно целые числа.
Коэффициент ранговой корреляции целесообразно использовать в следующих случаях:
- если экспериментальные данные представляют собой точно измеренные значения признаков Х и Y и требуется быстро найти приближенную оценку коэффициента корреляции. Тогда даже в случае двумерного нормального распределения генеральной совокупности можно воспользоваться коэффициентом ранговой корреляции вместо точного коэффициента корреляции Браве-Пирсона. Вычисления будут существенно проще, а точность оценки генерального параметра р с помощью коэффициента
при больших объемах выборки составляет 91,2% по отношению к точности оценки по коэффициенту корреляций;- когда значения xi и (или) yi заданы в порядковой шкале (например, оценки судей в баллах, места на соревнованиях, количественные градации качественных признаков), т. е. когда признаки не могут быть точно измерены, но их наблюдаемые значения могут быть расставлены в определенном порядке.
Пример 2. Определить достоверность взаимосвязи между показателями веса и максимального количества сгибания и разгибания рук в упоре лежа у 10 исследуемых с помощью расчета рангового коэффициента корреляции, если данные выборок таковы:
xi,кг~55; 45; 43; 47; 47; 51; 48; 60; 53;50
yi, кол-во раз ~ 26; 20; 25; 22; 27; 28; 16; 15; 18; 24
Решение
1. Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмена произведем по формуле:
где: dx и dy — ранги показателей х и у;
n — число коррелируемых пар или исследуемых.
2 Данные тестирования занести в рабочую таблицу и сделать необходимые расчеты.
Таблица 2 – Данные тестирования
| xi | dx | yi | dy |  |  |
| 55 | 9 | 26 | 9 | 0 | 0 |
| 45 | 2 | 20 | 4 | -2 | 4 |
| 43 | 1 | 25 | 7 | -6 | 36 |
| 47 | 3.5 | 22 | 5 | -1.5 | 2.25 |
| 47 | 3.5 | 7 | 8 | -4.5 | 20.25 |
| 51 | 7 | 28 | 10 | -3 | 9 |
| 48 | 5 | 16 | 2 | 3 | 9 |
| 60 | 10 | 15 | 1 | 9 | 81 |
| 53 | 8 | 18 | 3 | 5 | 25 |
| 50 | 6 | 24 | 6 | 0 | 0 |
 | | | | = 0 |  = 186,5 |
Тогда
3. Сравнить расчетное значение рангового коэффициента корреляции(rф =-0,13) с табличным значением для n = 10 при α = 5% и сделать вывод.
Вывод:
1) т.к. rф = -0,13 < 0, то между данными выборок наблюдается прямая отрицательная взаимосвязь, т.е. увеличением показателей веса вызывает снижение максимального количество сгибаний и разгибаний рук в упоре лежа в группе исследуемых;
2) т.к. rф = -0,13 < rst = 0,64 для n = 10 при α = 5%, то с уверенностью Р = 95% можно говорить о том, что выявленная зависимость недостоверна.
1.8Основные свойства коэффициентов корреляции
К основным свойствам коэффициента корреляции необходимо отнести следующие:
- коэффициенты корреляции способны характеризовать только линейные связи, т.е. такие, которые выражаются уравнением линейной функции. При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками следует использовать другие показатели связи;
- значения коэффициентов корреляции – это отвлеченные числа, лежащее в пределах от —1 до +1, т.е. -1 < r < 1;
- при независимом варьировании признаков, когда связь между ними отсутствует, r= 0;
- при положительной, или прямой, связи, когда с увеличением значений одного признака возрастают значения другого, коэффициент корреляции приобретает положительный знак и находится в пределах от 0 до +1, т.е. 0 < r < 1;
- при отрицательной, или обратной, связи, когда с увеличением значений одного признака соответственно уменьшаются значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным знаком и находится в пределах от 0 до –1, т.е. -1 < r <0;