Математическое моделирование роста доходности страховой компании (стр. 4 из 7)
j’
-j -Cm-1]K’(t)-(1-m)L(t)j
+(g+d+pc)K(t)+(Cm+1)L(t)=0Перепишем последнюю систему в удобном виде.
l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k1/l l
)e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k1/l l
)l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k2/l l
e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k2/l l
)l(t)=[(1-a+am(b1+b2))(
j’k1/l + 
j’k2/l -j +e-rt]/[(1-m)( j’k1/l + j’
-j -Cm-1]K’(t)=(1-m)L(t)j
-(g+d+pc)K(t)-(Cm+1)L(t) (2.4)Обозначим
k(t)=K(t)/L(t), k1(t)=K1(t)/L(t), k2(t)=K2(t)/L(t) и n(t)=(dL/dt)/L (2.5)
и проведем аналогичные §1 рассуждения. Тогда справедливо соотношение (1.7).
Для упрощения полученной системы введем еще одно обозначение:
z(k(t)) = j’k1(t)(k1(t),k2(t)) k1(t) +j’k2(t)(k1(t),k2(t)) k2(t)-j(k1(t),k2(t))
Разделив уравнение (2.4) на L(t) и учитывая обозначения, получим:
l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k1(k1(t), k2(t))e-rt+
l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k1(k1(t), k2(t))) (2.6)
l’(t)=(1-a+am(b1+b2))j’k2(k1(t),k2(t))e-rt+
l(t)(g+d+pc-(1-m)j’k2(k1(t), k2(t))) (2.7)
l(t)=[(1-a+am(b1+b2))z(k1(t),k2(t))e-rt]/[(1-m)(z(k1(t),k2(t))+Cm+1] (2.8)
k’(t)=(1-m)j(k1(t),k2(t))-(g+d+pc)k(t)-(Cm+1) (2.9)
Продифференцируем (2.8) по t. Получим:
-rt
l¢(t)=
2 -rl(t) (2.10)Учитывая, что z’(k1(t),k2(t)) =j’’k1k1(k1(t),k2(t))k’1(t)k1(t) +j’’k2k2(k1(t),k2(t))k’2(t)k2(t), получаем, что формула (2.10) примет вид
l¢(t) =e-rt(j’’k1k1(k1(t),k2(t))k’1(t)k1(t) +j’’k2k2(k1(t),k2(t))k’2(t)k2(t))(1-a+am(b1+b2))(Cm+1) / [(1 -m)z(k1(t),k2(t)) + Cm +1] 2-rl(t) (2.11)
Подставляем в (2.11) соотношения (2.6) и (2.8), (2.7) и (2.8) соответственно, получим, что темп изменения капиталовооруженности вычисляется по формулам:
k’(t)=(1-m)j(k1(t),k2(t))-(g+d+pc)k(t)-(Cm+1)
k’1(t)=
k’2(t)=
где
U(t)= (1 -m)z(k1(t),k2(t)) + Cm +1
V1(t)= Cm +1+z(k1(t),k2(t))((1 -m) +j’k1( k1(t),k2(t))(1 -m)-(g+d+pc+r))
V2(t)= Cm +1+z(k1(t),k2(t))((1 -m) +j’k2( k1(t),k2(t))(1 -m)-(g+d+pc+r))
Рассмотрим случай, когда оба агента участвуют в формировании капитала фирмы в равных долях. Тогда (при n=1) рассматриваемая модель сводится к сличаю приведенному в §1. Однако, если доли не равны, то приходим к качественно новой задаче.
§3 Математический анализ многосекторной модели роста доходности страховой компании
Напишем ее формулировку.
Максимизировать
¥nn -rt
J(t)=ò( åaIj(t)+ å(1-a)Rj(t))edt
0 j=1 j=1
при ограничениях
Rj(t)=F(Kj(t), L(t)) "jj=1,n
Ij(t)=mjRj(t), 0<mj<1,"j,j=1,n
n
(1- m)R(t)= åWaj(t)+L(t)+K’(t)+dK(t)+p(t)K(t)
j=1
Waj(t) = gKj(t)+CmL(t) "j,j=1,n
0<g<1, 0<Cm <1, 0<d<1
0<a<1, p(t)³pc
L(0)=L0, L0>0, K(0)=K0, K0>0
Выпишем модель для случая n=2.
Максимизировать
?
ò (a(m1R1(t) + m1R2(t)) + (1-a) (R1(t)+R(t)) e-rtdt
0
при условии
(1-m1-m2)R(t)=g( K1(t)+ K2(t))+ CmL(t)+L(t) + dK(t)+K’(t)+p(t)K(t),
0<d<1, p(t)³pc,0<g+d+p<1
L(0)=L0, L0>0 K(0)=K0,K0>0
K0 - начальный капитал фирмы, L0 - начальное количество работников.
Выпишем функцию Лагранжа, учитывая (2.6), (1.1) и тот факт, что F(Kî(t),L(t)) "j,j=1,2 однородна, получим:
W(t)=(am1L(t)j( (
)+am2L(t)j( ( 
)+(1- a)L(t)j( ( 
)e-rt + l(t)( -(1-m1-m2)L(t)j(( ) + (g+d+pc)K(t) + (Cm +1)L(t) + K’(t))В результате исходная модель записывается в виде (2.1)-(2.3)
Далее, выпишем систему уравнений Эйлера - Лагранжа, вытекающую из (2.1)-(2.3)
( am1j ‘(
) + (1-a)j’( )e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’( )-l’(t)=0( am2j ‘(
) + (1-a)j’( )e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’( )-l’(t)=0(a ( m1j(
) +m2j( )-(m1j’( ) +m2j’ ( ) )) + (1-a)(j( )-j’( ) ))e -rt+l(t)((1-m1-m2)j’( ) -(1-m1-m2)j( ) +Cm+1)=0K’(t)-(1-m)L(t)j(
)+(g+d+pc)K(t)+(Cm+1 )L(t)=0 (3.1)Перепишем последнюю систему в удобном виде.
l¢(t)=(am1j’(
)+(1-a)j’( ))e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’(( ))l¢(t)=(am2j’(
)+(1-a)j’( ))e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’(( ))(am1(j(
)-j’( ) )+am2(j( )-j’( ) )+(1-a)(j( )-j’( ) ))e-rt+l(t)((1-m1-m2)(j’( ) -j( ))+Cm+1)=0K’(t)-(1-m)L(t)j(
)+(g+d+pc)K(t)+(Cm+1 )L(t)=0 (3.2)Проведя аналогичные рассуждения, что и в §1, введем обозначения аналогичные (1.8) z(kj(t)) = j’(kj(t)) kj(t) -j(kj(t) )для j=1,2. (3.3)
Разделив (3.2) на L(t) и учитывая обозначения (3.3) и (1.8), получим:
l’(t)=(am1j’(k1(t))+(1-a)j’(k(t)))e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’(k(t))) (3.4)
l’(t)=(am2j’(k2(t))+(1-a)j’(k(t)))e-rt+l(t)(g+d+pc-(1-m1-m2)j’(k(t))) (3.5)
-rt
l(t)=
(3.6)k’(t) = (1 -m)j(k(t))-(g+d+pc)k(t) - (Cm + 1) (3.7)
После дифференцирования (3.7) по tполучим:
l¢(t) = e-rt[(am1z’(k1(t))+am2z’(k2(t))+(1-a) z’(k(t)))(Cm+1+(1-m1-m2)z(k(t))) - (am1z(k1(t))+am2z(k2(t))+(1-a)z(k(t)))(1-m1-m2)z’(k(t))]/ [(1-m1-m2)z(k(t)) + Cm + 1 ]2-rl(t)(3.8)
Учитывая (1.8) и аналогичные выражения для z(kj(t)) для j=1,2,получаем, что формула (3.8) примет вид:
l¢(t)=e-rt[(am1j’’(k1(t))k’1(t)k1(t)+am2j’’(k2(t))k’2(t)k2(t)+(1-a)j’’(k(t))k’(t)k(t))(Cm+1+(1-m1-m2)z(k(t)))-(am1z(k1(t))+am2z(k2(t))+(1-a)z(k(t)))(1-m1-m2) j’’(k(t))k’(t)k(t))]/ [(1-m1-m2)z(k(t)) + Cm + 1 ]2-rl(t) (3.9)