Стандартна задача лінійного програмування (стр. 4 из 8)

Введемо позначення

і помноживши всі нерівності на -1 отримуємо систему обмежень:

Очевидно, що остання система обмежень збігається з (26) і рівносильна системі обмежень (3-9) У тому розумінні, що будь-якому розв'язку

системи нерівностей відповідає певний розв'язок системи рівнянь (22) Для завершення доведення леми підставимо у цільову функцію (21) замість базисних невідомих їхні вирази (28). Якщо згрупувати подібні члени, то цільова функція набуде вигляду (25). Приклад 2. Звести до другої стандартної форми задачу

Розв'язання. Виписуємо матрицю системи обмежень

і шукаємо ранг матриці. Базисним буде мінор

Отже, ранг

. Базисні невідомі: ; вільні невідомі:

Розв'язуємо систему відносно базисних невідомих:

Так як

, то

Запишемо цільову функцію z через вільні невідомі

Отже, задача, рівносильна вихідній, має вигляд:

Із лем 1, 2 випливає така теорема.

Теорема 1. Основна задача лінійного програмування у першій стандартній формі і основна задача лінійного програмування у другій стандартній формі еквівалентні між собою

3. Економічна модель задачі

Фірма спеціалізується на виготовленні та реалізації електроплит і морозильних камер. Припустимо, що збут продукції необмежений, проте обсяги ресурсів (праці та основних матеріалів) обмежені. Завдання полягає у визначенні такого плану виробництва продукції на місяць, за якого виручка була б найбільшою.

Норми використання ресурсів та їх загальний запас, а також ціни одиниці кожного виду продукції наведені в табл. 1.

Таблиця 1 Інформація, необхідна для складання виробничої програми

Вид продукції	Норми витрат на одиницю продукції			Ціна одиниці продукції, ум. од.
	робочого часу, люд.-год.	листового заліза, м2	скла, м2
Морозильна камера	9,2	3	—	300
Електрична плита	4	6	2	200
Загальний запас ресурсу на місяць	520	240	40	—

Побудуємо економіко-математичну модель даної задачі.

Позначимо через

кількість вироблених морозильних камер, а через, — електроплит. Виразимо математично умови, що обмежують використання ресурсів.

Виходячи з нормативів використання кожного з ресурсів на одиницю продукції, що наведені в табл. 1, запишемо сумарні витрати робочого часу:

.

За умовою задачі ця величина

не може перевищувати загальний запас даного ресурсу, тобто 520 люд.-год. Ця вимога описується такою нерівністю:

Аналогічно запишемо умови щодо використання листового заліза та скла:

Необхідно серед множини всіх можливих значень

та знайти такі, за яких сума виручки максимальна, тобто: max

Отже, умови задачі, описані в прикладі 1.1, можна подати такою економіко-математичною моделлю:

5

за умов:

Остання умова фіксує неможливість набуття змінними від'ємних значень, тому що кількість виробленої продукції не може бути від'ємною. Розв'язавши задачу відповідним методом математичного програмування, дістаємо такий розв'язок: для максимальної виручки від реалізації продукції необхідно виготовляти морозильних камер — 50 штук, електроплит — 15 (

=50, =15).

Перевіримо виконання умов задачі:

9,2-50 + 4·15 = 520;

3-50 + 6·15 = 240;

2·15 = 30<40.

Всі умови задачі виконуються, до того ж оптимальний план дає змогу повністю використати два види ресурсів з мінімальним надлишком третього.

Виручка становитиме: F = 300-50 + 200-15 = 18000 ум. од.

Отриманий оптимальний план у порівнянні з першим варіантом виробничої програми уможливлює збільшення виручки на

18000-16 800 = 1200 ум. од., тобто на

100% = 7,1%

4. Математична модель задачі

Математична модель стандартної задачі – це її спрощений образ, поданий у вигляді сукупності математичних співвідношень (нерівностей). Загальна задача лінійного програмування (ЛП) подається у вигляді:

знайти максимум (мінімум) функції

(29)

або

за умов

(30)

(31)

Отже, потрібно знайти значення змінних

, які задовольняють умови (30) і (31), тоді як цільова функція набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Задачу (29)—(2.3) легко звести до канонічної форми, тобто до такого вигляду, коли в системі обмежень (30) всі

(і =1,2, ...... n) невід'ємні, а всі обмеження є рівностями.

Якщо якесь

від'ємне, то, помноживши -те обмеження на (—1), дістанемо у правій частині відповідної рівності додатне значення. Коли i-те обмеження має вигляд нерівності ,

, то останню завжди можна звести до рівності, увівши допоміжну змінну

Аналогічно обмеження виду

зводимо до рівності, віднімаючи від лівої частини допоміжну змінну ,тобто І

Приклад 2.1. Записати в канонічній формі таку задачу ЛП:

за умов

Розв'язування. Помножимо другу нерівність на (-1) і введемо відповідно допоміжні змінні

і для другого та третього обмеження:

Неважко переконатися, що допоміжні змінні, у цьому разі

і , є невід'ємними, причому їх уведення не змінює цільової функції.

Отже, будь-яку задачу ЛП можна записати в такій канонічній формі:

знайти максимум функції

(32)

за умов

(33)

(34)

Задачу (32)—(34) можна розв'язувати на мінімум, якщо цільову функцію помножити на (-1), тобто