Хай нас не цікавить випуск для зовнішнього споживання продукції 2-ої галузі (k=2) і ми хочемо визначити витрати продукції 1-ої галузі на одиницю цієї продукції. З табл. 2 знаходимо, що на кожну одиницю продукції 2-ої галузі (х2=1) витрачається: продукції 1-ої галузі a12=0.4 і 2-ій галузі a22=0.1.
Такі будуть прямі витрати. Хай потрібно виготовити у2=100. Чи можна для цього планувати випуск 1-ої галузі х1=0.4100=40? Звичайно, не можна, оскільки необхідно враховувати, що 1-а галузь частина своєї продукції споживає сама (а11=0.2), і тому сумарний її випуск слід скоректувати: х1=40+0.240=48. Проте і ця цифра невірна, оскільки тепер уже слід виходити з нового об'єму продукції 1-ої галузі – х1=48 'і так далі Але справа не тільки в цьому. Згідно табл. 2 продукція 2-ої галузі також необхідна для виробництва і 1-ої і 2-ої галузей і тому потрібно буде випускати більше, ніж у2=100. Але тоді зростуть потреби в продукції 1-ої галузі. Тоді досить звернутися до складеної систем рівнянь, поклавши у1=0 і у2=1 (см п. 2):
0.8х1 – 0.4х2 = 0
-0.55х1 + 0.9х2 = 1
Вирішивши цю систему, отримаємо х1=0.8 і х2=1.5. Отже, для того, щоб виготовити одиницю кінцевого продукту 2-ої галузі, необхідно в 1-ій галузі випустити продукції х1=0.8. Цю величину називають коефіцієнтом повних витрат і позначають її через S12. Таким чином, якщо а12=0.4 характеризує витрати продукції 1-ої галузі на виробництво одиниці продукції 2-ої галузі, використовувані безпосередньо в 2-ій галузі (чому вони і були названі прямі витрати), то S12 враховують сукупні витрати продукції 1-ої галузі як прямі (а12), так і непрямі витрати, що реалізовуються через інші (в даному випадку через 1-у ж) галузі, але кінець кінцем необхідні для забезпечення випуску одиниці кінцевого продукту 2-ої галузі. Ці непрямі витрати складають S12-a12=0.8–0.4=0.4
Якщо коефіцієнт прямих витрат обчислюється на одиницю валового випуску, наприклад а12=0.4 при х2=1, то коефіцієнт повних витрат розраховується на одиницю кінцевого продукту.
Отже, величина Sik характеризує повні витрати продукції i-й галузі для виробництва одиниці кінцевого продукту к-й галузі, що включають як прямі (aik), так і непрямі (Sik – aik) витрати.
Очевидно, що завжди Sik > aik.
Якщо необхідно випустити уk одиниць к-го кінцевого продукту, то відповідний валовий випуск кожної галузі складе на підставі системи (8):
x1 = S1kyk·, x2 = S2kyk., xn = Snkyk
що можна записати коротше у вигляді:
x = Skyk· (10)
Нарешті, якщо потрібно випустити набір кінцевого продукту, заданий ассортиментным вектором У =:, то валовий випуск к-й галузі xk, необхідний для його забезпечення, визначиться на підставі рівності (10) як скалярний твір стовпця Sk на вектор У, тобто
xk = Sk1y1 + Sk2y2 +. + Sknyn = Sky (·11)·
а весь вектор-план х знайдеться з формули (7) як твір матриці S на вектор У.
Таким чином, підрахувавши матрицю повних витрат S, можна по формулах (7) – (11) розрахувати валовий випуск кожної галузі і сукупний валовий випуск всіх галузей при будь-якому заданому асортиментному векторі У.
Можна також визначити, яка зміна у вектор-плане Dх = (Dх1, Dх2., Dхn) викличе задану зміну асортиментного продукту У = (у1, у2., уn) по формулі:
Dх = SУ (·D12)
Приведемо приклад розрахунку коефіцієнтів повних витрат для балансової табл. 2. Ми маємо матрицю коефіцієнтів прямих витрат:
0.2 0.4
А =
0.55 0.1
Отже
1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4
Е – А = =
-0.55 1 -0.1 -0.55 0.9
Визначник цієї матриці
0.8 -0.4
D [E – A] = = 0.5
-0.55 0.9
Побудуємо приєднану матрицю (Е – А)*. Маємо:
0.9 0.4
(Е – А)* =,
0.55 0.8
звідки зворотна матриця, що є таблицею коефіцієнтів повних витрат, буде наступною:
1 0.9 0.4 1.8 0.8
S = (Е – А)-1 = – =
0.5 0.55 0.8 1.1 1.6
З цієї матриці укладаємо, що повні витрати продукції 1-ої і 2-ої галузі, одиниці кінцевого продукту 1-ої галузі, що йдуть на виробництво, складає S11=0.8 і S21=1.5. Порівнюючи з прямими витратами а11=0.2 і а21=0.55, встановлюємо, непрямі витрати в цьому випадку складуть 1.8–0.2=1.6 і 1.1–0.55=0.55.
Аналогічно, повні витрати 1-ої і 2-ої галузі на виробництво одиниці кінцевого продукту 2-ої галузі рівні S12=0.8 і S22=1.5, звідки непрямі витрати складуть 0.8–0.4=0.4 і 1.6–0.1=1.5.
Хай потрібно виготовити 480 одиниць продукції 1-ою і 170 одиниць 2-ої галузей.
Тоді необхідний валовий випуск х = х1 знайдеться з рівності (7):
_ _ 1.8 0.8 480 1000
х = SУ = · =
1.1 1.6 170 800.
Повні витрати праці капіталовкладень
Розширимо табл. 1, включивши в неї, окрім продуктивних витрат xik, витрати праці, капіталовкладень і так далі по кожній галузі. Ці нові джерела витрат впишуться в таблицю як нові n+1-я, n+2-я і так далі додаткові рядки.
Позначимо витрати праці в к-ю галузь через xn+1, k, і витрати капіталовкладень – через xn+2, k (де до = 1, 2., n). Подібно до того як вводилися прямі витрати aik
xn+1, k
введемо в розгляд коефіцієнти прямих витрат праці an+1, k = –, і
xk
xn+2, k
капіталовкладень an+2, k = –, що є витратою відповідного
xk
ресурсу на одиницю продукції, що випускається к-й галуззю. Включивши ці коефіцієнти в структурну матрицю (тобто дописавши їх у вигляді додаткових рядків), отримаємо прямокутну матрицю коефіцієнтів прямих витрат.
При вирішення балансових рівнянь як і раніше використовується лише основна частина матриці (структурна матриця А). Проте при розрахунку на планований період витрат праці або капіталовкладень, необхідних для випуску даного кінцевого продукту, беруть участь додаткові рядки.
Так, хай, наприклад, проводиться одиниця продукту 1-ої галузі, тобто
_ 1
У = 0
:
0.
Для цього потрібний валовий випуск продукції
S11
_ _ S21
x = S1 =:
Sn1
Підрахуємо необхідні при цьому витрати праці Sn+1,1. Очевидно, виходячи з сенсу коефіцієнтів an+1, k прямих витрат праці як витрат на одиницю продукції к-й галузі і величин S11, S12., S1n, що характеризують скільки одиниць продукції необхідно випустити в кожній галузі, отримаємо витрати праці безпосередньо в 1-у галузь як an+1,1S11, в 2-у – an+1,2S21 і так далі, нарешті в n-ю галузь an+1, nSn1. Сумарні витрати праці, пов'язані з виробництвом одиниці кінцевого продукту 1-ої галузі, складуть:
Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 +. + an+1, nSn1 = an+1S1
тобто рівні скалярному твору (n+1) – го рядка розширеної матриці А, 'яку позначимо an+1, на 1-й стовпець матриці S.
Сумарні витрати праці, необхідні для виробництва кінцевого продукту к-й галузі, складуть:
_ _
Sn+1, k = an+1Sk (13)
Назвемо ці величини коефіцієнтами повних витрат праці. Повторивши всі приведені міркування при розрахунку необхідних капіталовкладень, прийдемо аналогічно попередньому до коефіцієнтів повних витрат капіталовкладень:
Sn+2, k = an+2Sk (14)
Тепер можна доповнити матриць S рядками, що складаються з елементів Sn+1, k і Sn+2, k, утворити розширену матрицю коефіцієнтів повних витрат.
Користуючись цією матрицею можна розрахувати при будь-якому заданому асортиментному векторі У не тільки необхідний валовий випуск продукції х (для чого використовується матриця S), але і необхідні сумарні витрати праці xn+1, капіталовкладень xn+2 і так далі, що забезпечують випуск даної кінцевої продукції У.
Очевидно
xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 +. + Sn+1, nyn (16)
xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 +. + Sn+2, nyn
тобто сумарна кількість праці і капіталовкладень, необхідних для забезпечення асортиментного вектора кінцевої продукції У, рівні скалярним творам відповідних додаткових рядків матриці S 'вектор У.
Нарешті, об'єднуючи формулу (7) з формулами (16), приходимо до наступної компактної форми:
x1
x2
_: _
x = xn = SУ ('17)'
xn+1
xn+2
Хай додатково до даним, поміщеним в табл. 2, відомі за підсумками виконання балансу фактичні витрати праці xn+1, k (у тис. людино-годин) і капіталовкладень xn+2, k (у тис. крб.), які записані в табл. 3
Переходячи до коефіцієнтів прямих витрат aik, отримаємо розширену матрицю:
0.2 0.4
А' = 0.55 0.1
0.5 0.2
1.5 2.0
Зворотна матриця S = (E – A)-1 була вже підрахована в попередньому пункті.
На підставі (13) розрахуємо коефіцієнти повних витрат праці (Sn+1, k=S3, k):
S31 = a3S1· = 0.5 · 1.8 + 0.2 1.1 = 1.12;
S32 = a3S2· = 0.5 · 0.8 + 0.2 1.6 = 0.72
і капіталовкладень Sn+2, k = S4, k:
S41 = a4S1· = 1.5 · 1.8 + 2.0 1.1 = 4.9;
S42 = a4S2· = 1.5 · 0.8 + 2.0 1.6 = 4.4.
Таким чином, розширена матриця S 'коефіцієнтів повних витрат прийме вигляд:
1.8 0.8
S' = 1.1 1.6
1.12 0.72
4.9 4.4
Якщо задатися на планований період колишнім асортиментним вектором
У = 240, то розрахувавши по формулах (16) сумарні витрати праці xn+1 і 85 капіталовкладень xn+2, отримали б xn+1 = x3 = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тис. чіл.-ч. і xn+2 = xn = 4.9 240 + 4.4 85 = 1176 + 374 = 1550 тис. руб., що співпадає з початковими даними табл. 3.
Проте на відміну від табл. 3, де ці сумарні витрати групуються по галузях
(250 і 80 або 750 і 800), тут вони розподілені по видах кінцевої продукції: на продукцію 1-ої галузі 268.8 і на продукцію 2-ої галузі 61.2; відповідно витрати капіталовкладень складають 1176 і 374.
При будь-якому новому значенні асортиментного вектора У всі показники плану, такі, як валова продукція кожної галузі і сумарні витрати трудових ресурсів і капіталовкладень знайдемо з формули (17).
Так, хай заданий асортиментний вектор У = 480. Тоді
_ х1 1.8 0.8 1000
х = х2 = 1.1 1.6 480 = 800
х3 1.12 0.72 170 600
х4 4.9 4.4 3100
Звідси укладаємо, що запланований випуск кінцевого продукту У може бути досягнутий при валовому випуску 1-ої і 2-ої галузей: х1=1000 і х2=800, при сумарних витратах праці х3=660 тис. чіл.-ч. і при витратах капіталовкладень х4=3100 тыс. руб.
Розглянуті теоретичні питання і приклади розрахунку, звичайно, далеко не вичерпують важливу для практики область балансових досліджень. Тут проілюстрований тільки одне напрям додатку лінійної алгебри в економічних дослідженнях.