Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления (стр. 2 из 14)

Тогда получим:

(1)

(2)

Числитель передаточной функции имеет вид:

Знаменатель передаточной функции:

Тогда согласно равенству (1) и (2) имеем

Перейдем из области изображений в область оригиналов

и затем перейдем к нормальной форме Коши

Запишем матрицы состояний

Численное значение матриц состояний:

1.2.2 Метод параллельной декомпозиции

Запишем передаточную функцию объекта в другом виде, а именно:

или

Согласно формуле

получим

Рассмотрим каждое из слагаемых в отдельности согласно принципу параллельной декомпозиции.

Получим выход системы:

Запишем матрицы состояний

Вычисление коэффициентов разложения дробной рациональной функции

на сумму элементарных дробей и проверка правильности получения матриц состояния сделано с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт ProstranstvoSostoyanii.m)

Получены следующие результаты:Матрица СЛАУ:

Численное значение матриц состояний:

2. Решение задачи быстродействия симплекс-методом

Дана система:

(3)

1. Проверим управляемость данной системы.

Запишем систему ДУ в матричном виде:

где

Данная система является стационарной, её порядок

, поэтому матрица управляемости имеет вид:

Найдем матрицу управляемости:

Ранг матрицы управляемости равен порядку системы, следовательно, данная система является управляемой.

следовательно

Собственные числа матрицы

найдем из уравнения

Действительные части собственных значений матрицы

являются неположительными, следовательно, все условия управляемости выполнены.

2. Ссылаясь на решение задачи быстродействия из ДЗ№2 по СУЛА «Решение задачи быстродействия» имеем:

Запишем зависимости

, полученные при решении систем дифференциальных уравнений:

Перейдем к дискретной модели заданной системы. Имеем

(4)

где

шаг дискретизации и соответствующие матрицы

(5)

Пусть управление ограничено интервальным ограничением

(6)

Тогда на

шаге имеем

(7)

Известны начальная и конечная точки

где

– оптимальное число шагов в задаче быстродействия.

Решается задача быстродействия

а) Формирование задачи быстродействия как задачи линейного программирования

Конечная точка

в дискретной модели представлена в виде

(8)

Получаем

– равенств

(9)

Для приведения ограничений (9) к канонической форме сделаем необходимое преобразование в правой и левой частях, чтобы правые части были неотрицательными (если правая часть меньше нуля, то домножаем на (-1) левую и правую части). Отметим проведенные изменения точкой в правом верхнем углу соответствующих векторов