Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления (стр. 8 из 14)
Рис.54. Графики фазовых координат.
Рис.55. Графики управлений.
Выводы: Так как система является полностью наблюдаема и полностью управляема, то спектр матрицы
может располагаться произвольно. Перемещая собственные значения матрицы 
левее, относительно собственных значений матрицы 
мы улучшаем динамику системы, однако, наблюдатель становится более чувствителен к шумам.1. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5 – и т. Т.4: Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 748 с.
2. Краснощёченко В.И.: Методическое пособие: «Методы теории оптимального управления».
PlotTimeFrHaract.m
clc
clear all
close all
b1 = 9;
b0 = 5;
a4 = 0.1153;
a3 = 1.78;
a2 = 3.92;
a1 = 14.42;
a0 = 8.583;
% syms s w
% W_s_chislit = b1 * s + b0;
% W_s_znamen = s * (a4 * s^4 + a3 * s^3 + a2 * s^2 + a1 * s + a0);
%
% W_s_obj = W_s_chislit/W_s_znamen;
%A_w = collect(simplify(abs(subs(W_s_obj, s, i*w))))
%----------------------Построение АЧХ-------------------------------------%
figure('Name', '[0,10]');
w = 0 : 0.01 : 10;
A_w = sqrt((b0^2 + b1^2.*w.^2)./((-a1*w.^2+a3*w.^4).^2+(a0*w-a2*w.^3+a4*w.^5).^2));
plot(w,A_w,'k', 'LineWidth', 2);
grid on
xlabel('w')
ylabel('A(w)')
title('Function ACHX(w)')
%-------------------------------------------------------------------------%
r_ch = roots([b1 b0])
r_zn = roots([a4 a3 a2 a1 a0 0])
%----------------------Построение ФЧХ-------------------------------------%
figure('Name', '[0,100]');
w = 0 : 0.01 : 100;
fi_w = (atan(w/0.5556)-atan(w/0)-atan(w/13.5832)-atan((w-2.7677)/0.5850)...
-atan((w+2.7677)/0.5850) - atan(w/(0.6848)))*180/pi;
plot(w,fi_w, 'k', 'LineWidth', 2);
grid on
xlabel('w')
ylabel('fi(w)')
title('Function FCHX(w)')
%-------------------------------------------------------------------------%
%----------------------Построение АФЧХ------------------------------------%
figure('Name', '[0,100]');
w = 0 : 0.01 : 100;
A_w = sqrt((b0^2 + b1^2.*w.^2)./((-a1*w.^2+a3*w.^4).^2+(a0*w-a2*w.^3+a4*w.^5).^2));
fi_w = (atan(w/0.5556)-atan(w/0)-atan(w/13.5832)-atan((w-2.7677)/0.5850)...
-atan((w+2.7677)/0.5850) - atan(w/(0.6848)));
polar(fi_w,A_w, 'k');
grid on
xlabel('Re(W(jw))')
ylabel('Im(W(jw))')
title('Function AFCHX(fi_w,A_w)')
%-------------------------------------------------------------------------%
%----------------------Построение ЛАЧХ------------------------------------%
figure('Name', '[0,100]');
w = -100 : 0.01 : 100;
LA_w = 20*log(sqrt((b0^2 + b1^2.*w.^2)./((-a1*w.^2+a3*w.^4).^2+(a0*w-a2*w.^3+a4*w.^5).^2)));
plot(w,LA_w,'k', 'LineWidth', 2);
grid on
xlabel('w')
ylabel('L(w)')
title('Function L(w)')
%-------------------------------------------------------------------------%
%----------------------Построение ФАЧХ------------------------------------%
%-------------------------------------------------------------------------%
%----------------------Построение h(t)------------------------------------%
figure('Name', '[0,50]');
t = 0 : 0.01 : 50;
h_t = 0.0024 * exp(-13.5832.*t) - 0.2175 * exp(-0.6848.*t)...
+ 0.1452 * exp(-0.5850.*t).* cos(2.7677.*t)...
- 0.2217 * exp(-0.5850.*t).* sin(2.7677.*t)...
+ 0.5825 .* t + 0.0699;
plot(t,h_t, 'k', 'LineWidth', 2);
grid on
xlabel('t')
ylabel('h(t)')
title('Function h(t)')
%-------------------------------------------------------------------------%
%----------------------Построение k(t)------------------------------------%
figure('Name', '[0,50]');
t = 0 : 0.01 : 50;
k_t = - 0.0329 * exp(-13.5832.*t) + 0.1489 * exp(-0.6848.*t)...
- 0.6986 * exp(-0.5850.*t).* cos(2.7677.*t)...
- 0.2721 * exp(-0.5850.*t).* sin(2.7677.*t)...
+ 0.5826;
plot(t,k_t, 'k', 'LineWidth', 2);
grid on
xlabel('t')
ylabel('k(t)')
title('Function k(t)')
%-------------------------------------------------------------------------%
x1=tf([b1 b0],[a4 a3 a2 a1 a0 0]);
ltiview(x1)
ProstranstvoSostoyanii.m
clc
clear all
%format rational
b1 = 9;
b0 = 5;
a5 = 0.1153;
a4 = 1.78;
a3 = 3.92;
a2 = 14.42;
a1 = 8.583;
a0 = 0;
%1. Матрица Фробениуса
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
A=[0 1 0 0 0;
0 0 1 0 0;
0 0 0 1 0;
0 0 0 0 1;
0 -a1/a5 -a2/a5 -a3/a5 -a4/a5]
B=[0; 0; 0; 0; 1/a5]
C=[b0 b1 0 0 0]
%Проверка
syms s
W_s = collect(simplify(C*(s.*eye(5)-A)^(-1)*B),s)
pretty(W_s)
%2. Параллельная декомпозиция
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
b1 = b1/a5;
b0 = b0/a5;
s1 = 0;
s2 = -6615/487;
s3 = -1022/1747 + 4016/1451*i;
s4 = -1022/1747 - 4016/1451*i;
s5 = -415/606;
alfa = real(s3);
beta = imag(s3);
syms s A B C D E
W_s_etal = collect(((b1*s+b0)/((s-s1)*(s-s2)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5))),s)
%pretty(W_s_etal)
Slag_1 = simplify(collect(A*(s-s2)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5),s));
Slag_2 = simplify(collect(B*(s-s1)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5),s));
Slag_3 = simplify(collect(C*(s-s1)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s2),s));
Slag_4 = simplify(collect((D*s+E)*(s-s1)*(s-s2)*(s-s5),s));
Chislit_W_s =collect(Slag_1 + Slag_2 + Slag_3 + Slag_4,s);
%Решение системы линейных уравнений
MS =double( [1 1 1 1 0;
6753029497/515578134 -513659/1058682 10560977/850789 4210795/295122 1;
77456808434995506239663107/126764366837761533378822144 1874500571398143988939141/260296441145300889894912 -3300780600401725219142291/418364246989311991349248 915075/98374 4210795/295122;
26189071674868424275768861465/253528733675523066757644288 2853037197681682345182805/520592882290601779789824 45476725452203201718998205/418364246989311991349248 0 915075/98374;
6290947020888109571128085025/84509577891841022252548096 0 0 0 0])
PCH = [0; 0; 0; b1; b0];
Koeff = MS^(-1)*PCH
%Проверка
MS*[Koeff(1);Koeff(2);Koeff(3);Koeff(4);Koeff(5)];
Slag_1 = simplify(collect(Koeff(1)*(s-s2)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5),s));
Slag_2 = simplify(collect(Koeff(2)*(s-s1)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5),s));
Slag_3 = simplify(collect(Koeff(3)*(s-s1)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s2),s));
Slag_4 = simplify(collect((Koeff(4)*s+Koeff(5))*(s-s1)*(s-s2)*(s-s5),s));
Chislit_W_s =collect((Slag_1 + Slag_2 + Slag_3 + Slag_4),s);
Znamena_W_s = collect((s-s1)*(s-s2)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5),s);
W_s = collect(simplify(Koeff(1)/(s-s1)+Koeff(2)/(s-s2)+(Koeff(4)*s+Koeff(5))/((s+alfa)^2+beta^2)+Koeff(3)/(s-s5)),s)
pretty(W_s)
%Расчет матриц состояния
A = [s1 0 0 0 0;
0 s2 0 0 0 ;
0 0 0 1 0;
0 0 -(alfa^2+beta^2) -2*alfa 0;
0 0 0 0 s5]
B = [Koeff(1); Koeff(2); 0; 1; Koeff(3)]
C = [1 1 Koeff(5) Koeff(4) 1]
%Проверка
W_s = collect(simplify(C*(s.*eye(5)-A)^(-1)*B),s)
pretty(W_s)
%ВСЕ ПОДСЧИТАНО ВЕРНО!!!
SimplexMetod2.m
function SimplexMetod2
clc
clear all
close all
format short
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ВВОДИМЫЕ ДАННЫЕ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Матрицы системы
A = [0 2;
-3 0];
B = [0; 2];
% Координаты начальной и конечной точки
X_0 = [14; 0];
X_N = [0; 0];
% Ограничение на управление
u_m = -3;
u_p = 5;
eps = 1e-10;% погрешность сравнения с нулем
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 195;% число шагов
%h = t1/N;% шаг дискретизации
h = 0.0162;
alfa = 1;
a = 0;
b = 0;
%t1 = 796/245;% время перехода в конечное состояние
n = size(A);
n = n(1);% порядок системы
% Нахождение матричного экспоненциала
syms s t
MatrEx = ilaplace((s*eye(n)-A)^(-1));
MatrEx_B = MatrEx*B;
% Вычисление матриц F и G
F = subs(MatrEx, t, h);
G = double(int(MatrEx_B, t, 0, h));
%%%%%%%%%%ФОРМИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ КАК ЗАДАЧИ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for index = 1 : 1e+10
% Вычисление правой части
PravChast = X_N - F^N * X_0;
% Вычисление произведения F на G
FG = zeros(n, N);% формирование матрицы для хранения данных
for j = 1 : n
for i = 0 : N - 1
fg = F^(N-i-1) * G;
if PravChast(j) < 0
fg = -fg;
end
FG(j, i+1) = fg(j);
end
end
% Построение z-строки
z_stroka = zeros(1, 4*N+n+2);% формирование матрицы для хранения данных
% Первый элемент z-строки
z_stroka(1) = 1;
% Суммирование правых частей
for j = 1 : n
z_stroka(4*N+n+2) = z_stroka(4*N+n+2) + abs(PravChast(j));
end
% Формирование элементов z-строки между 1-м и последним элементами
%при 2N небазисных переменных, т.е. при управлениях
for i = 2 : 2 : 2 * N
for j = 1 : n
z_stroka(i) = z_stroka(i) + FG(j, i/2);
end
for j = 1 : n
z_stroka(i+1) = z_stroka(i+1) - FG(j, i/2);
end
end
% Формирование симплекс-таблицы
CT = zeros(n+2*N+1, 4*N+n+2);
% Построение симплекс-таблицы начиная с z-строки
CT(1,:) = z_stroka(1,:);
% Формирование R-строк в симплекс-таблице
for j = 2 : n + 1
% Формирование правой части в R-строках
CT(j, 4*N+n+2) = abs(PravChast(j-1));
% Формирование элементов R-строк между 1-м и последним элементами
%при 2N небазисных переменных, т.е. при управлениях
for i = 2 : 2 : 2 * N
CT(j, i) = FG(j-1, i/2);
CT(j, i+1) = -FG(j-1, i/2);
end
end
% Формирование S-строк в симплекс-таблице
l = 2;
for j = n + 2 : 2 : n + 2 * N + 1
% Формирование правой части в S-строках
CT(j, 4*N+n+2) = u_p;
CT(j+1, 4*N+n+2) = abs(u_m);
% Формирование элементов S-строк между 1-м и последним элементами
%при 2N небазисных переменных, т.е. при управлениях
CT(j, l : l+1) = [1 -1];
CT(j+1, l : l+1) = [-1 1];
l = l + 2;
end
% Формирование базиса в симплекс-таблице, т.е коэффициентов, стоящих при
%базисных переменных от 2N небазисных переменных до правой части (до 4*N+n+1)
CT(2 : n+2*N+1, 2*N+2 : 4*N+n+1) = eye(n+2*N, n+2*N);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Цикл смены базисных переменных
nn = size(find(CT(1,2:2*N+1) >= eps));
while nn > 0
[znach, N_stolb] = max(CT(1, 2 : 2*N+1));
N_stolb = N_stolb + 1; % т.к. при небазисн. перемен.
PravChast = CT(:, 4*N+n+2);
for j = 2 : n + 2 * N + 1
if CT(j, N_stolb) > 0
PravChast(j) = PravChast(j) / CT(j, N_stolb);
else
PravChast(j) = inf;
end
end
[znach, N_str] = min(PravChast(2 : n+2*N+1));
N_str = N_str + 1;
% Формирование матрицы перехода B
B = eye(n+2*N+1, n+2*N+1);
B(:, N_str) = CT(:, N_stolb);
% Обращение матрицы B
RE = B(N_str, N_str);
for j = 1 : n + 2 * N + 1
if j == N_str
B(j, N_str) = 1 / RE;
else
B(j, N_str) = -B(j, N_str) / RE;
end
end
%B = inv(B);
% Получение новой симплекс таблицы
CT = B * CT;
nn = size(find(CT(1,2:2*N+1) >= eps));
end
u = zeros(1,N);
% Формирование управления
for j = 2 : n + 2 * N + 1
for i = 2 : 2 * N + 1
if CT(j, i) >= eps
if mod(i, 2) < eps
u(i/2) = CT(j, 4*N+n+2);
else
u((i-1)/2) = -CT(j, 4*N+n+2);
end
end
end
end
% Формирование x1 и x2
X = zeros(n, N);
X(:, 1) = F * X_0 + G * u(1);
for i = 2 : N
X(:, i) = F * X(:, i-1) + G * u(i);
end
% Объединение с начальными условиями
X1 = [X_0(1) X(1, :)];
X2 = [X_0(2) X(2, :)];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% проверка на окончание выбора количества шагов
XX = [X_0 X];
% Вычисление нормы вектора состояния
normaXX = norm(XX(:,N))
% Вычисление значения переменной R
R = abs(X_N - F^N * X_0) - FG * u';
R = R';
z = sum(R);
% Погрешность приближения к точному решению
pogresh = 0.3;
if (normaXX < pogresh)
N_opt = N;
break;
else
if (z > h)
if a == 1
alfa = ceil(alfa/2);
end
N = N + alfa;
a = 0;
b = 1;
else
if b == 1
alfa = ceil(alfa/2);
end
N = N - alfa;
a = 1;
b = 0;
end
end
t_perevoda = N * h;
end
N_opt
h
t_perevoda