Математическая статистика (стр. 3 из 3)
Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины:
и 
. Вычисляем 
и 
. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера 
. Значимость этого критерия 
, т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%. Модель 
считается адекватной с гарантией более 95%. Так как линейная модель адекватна, то и соответствующая ей нелинейная модель адекватна. Находим параметры исходной нелинейной модели: 
; 
.Вид нелинейной функции:
. Таким образом, можно сказать, что зависимость уровня рентабельности от производительности труда можно описать следующей функцией: .Найдем прогноз. Примем за точку прогноза значение производительности труда 2500 грн.
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: .
.Построим доверительную область для точки прогноза и всех точек.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки:
,где
- среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии; 
; 
‑ критическая точка распределения Стьюдента для надежности 
и 
; 
.Прогнозируемый доверительный интервал для любого x такой
, где 
, т.е. доверительный интервал для 
составит от 5,35 до 14,03 с гарантией 95%., т.е. при производительности 2500 грн. Уровень рентабельности составит от 5,35% до 14,03%.Для нелинейной модели найдем доверительный интервал, воспользовавшись обратной заменой:
. Совокупность доверительных интервалов для всех X из области прогнозов образует доверительную область.Найдем эластичность.
Для линейной модели
тогда 
.Коэффициент эластичности для точки прогноза:
Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении производительности на 1% уровень рентабельности увеличится с 9,69% на 1.1%. Т.е. при увеличении производительности труда рентабельность растет.
Задание № 3.3
Обозначим Фондоотдачу (грн.) – Х1, Производительность труда в расчете на одного работника (грн) – X2, Уровень рентабельности (%) – Y. Построим линейную зависимость показателя от факторов.
Прежде чем строить модель проверим факторы на коллинеарность. По исходным данным строим корреляционную матрицу. Коэффициент корреляции между X1 и X2 равен 0,87. Так как
, значит X1 и X2 – неколлинеарные факторы. Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью 
.Параметры
находим по методу наименьших квадратов. 
.Проверим значимость коэффициентов
.Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
.Значимость
равна 0,99, т.е 99% больше 5%. Коэффициент 
статистически незначим. 
.Значимость
равна 
, т.е. 39,6%, что больше 5%. Коэффициент 
статистически незначим. 
.Значимость
равна 
, т.е. 35%, что больше 5%. Коэффициент 
статистически незначим.Проверим модель на адекватность.
Проанализировав таблицу дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией
. Остатки, необъясненный разброс 
. Общий разброс данных 
. Коэффициент детерминации 
. Разброс данных объясняется на 54,11% линейной моделью и на 45,89% - случайными ошибками.Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины:
и 
. Вычисляем 
и 
. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера 
. Значимость этого критерия 
, т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%.Модель считается адекватной с гарантией более 95%.
Из полученной модели можно сделать вывод, что уровень рентабельности от фондоотдачи и производительности труда описывается следующей зависимостью:
Найдем прогноз.
Примем за точку прогноза значение производительности труда 25000 грн, фондоотдачи 33 грн. Получили при данных условиях уровень рентабельности
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза:
.Найдем эластичность по каждому фактору.
Для линейной модели
, т.е. при производительности труда 2500 грн. и увеличении фондоотдачи с 33 грн. на 1% уровень рентабельности снижается на 0,4736%. 
, т.е. при фондоотдаче 33 грн и увеличении производительности труда с 2500 грн. на 1% уровень рентабельности увеличивается на 0,5243%.Значит для увеличения рентабельности целесообразнее увеличивать производительность труда.