Математические методы экономических исследований (стр. 5 из 14)
. (6.2)Эти функции изменения состояния тоже должны быть записаны.
6. Записать основное рекурентное уравнение ДП, выражающее условный оптимальный выигрыш wi(S) (начиная с i-го шага и до конца) через уже известную функцию wi+1(S):
. (6.3)Этому выигрышу соответствует условное оптимальное управление на i-м шаге xi(S) (в уже известную функцию wi+1(S) нужно вместо S подставить измененное состояние S = ji(S,xi) ).
7. Произвести условную оптимизацию последнего m-го шага, задаваясь гаммой состояний S, из которых можно за один шаг дойти до конечного состояния, вычисляя для каждого из них условный оптимальный выигрыш по формуле:
,и находя условное оптимальное управление xm(S) , для которого этот максимум достигается.
8. Провести условную оптимизацию (m - 1)-го, (m - 2)-го и т.д. шагов по формуле (6.3), полагая в ней i = (m - 1), (m - 2), ..., и для каждого из шагов указать условное оптимальное xi(S), при котором достигается максимум. Если состояние системы в начальный момент известно (что является обычным), то на первом шаге варьировать состояние системы не нужно - сразу находится оптимальный выигрыш для данного начального состояния S0. Это и есть оптимальный выигрыш за всю операцию:
.9. Провести безусловную оптимизацию управления, "читая" соответствующие рекомендации на каждом шаге. Взять найденное оптимальное управление на первом шаге
, изменить состояние системы по формуле (6.2), для вновь найденного состояния найти оптимальное управление на втором шаге 
и т.д. до конца.Тема 7. Сетевые методы планирования
1. Понятие сетевых методов.
2. Разработка сетевых графиков.
3. Параметры сетевых графиков.
4. Расчет сетевых моделей.
Краткое содержание темы
В последние годы в планировании и управлении различными экономическими объектами все чаще применяются сетевые методы или, как их иначе называют, сетевые графики.
Эти методы далеко не универсальны, и многие вопросы не могут быть решены с их помощью, однако на своем месте, там, где их применение целесообразно, они весьма эффективны.
Первое, что подлежит сделать, - это составить список всех работ, которые необходимо совершать с начала какого-либо процесса и вплоть до его завершения.
Существенную роль в выборе работ имеет продолжительность или время выполнения. Обычно подразделение на работы осуществляется так, что продолжительности их достаточно близки, с той степенью детализации, которая достаточна для желаемой точности.
В принципе этот список может включать многие сотни работ.
Все работы в списке могут быть естественным способом упорядочены, т.е. можно сказать, какая работа должна быть выполнена сначала, а какая за ней. Можно также указать, какие работы будут выполняться одновременно.
Процесс упорядочения списка работ является наиболее существенной и трудоемкой частью всего исследования.
Как только это сделано, можно приступать к созданию сетевой модели.
Результаты работ будем изображать кружком с соответствующим номером внутри. При этом, если работа i предшествует работе j, то будем изображать так:
Пусть далее tij означает, что работа j может быть завершена через время tij после окончания работы i. Будем считать, что величины tij для всего списка работ известны. Стрелка на этой модели обозначает собственно работу, а кружки - результат.
Эту простую схему применим для всего спектра работ.
В результате получим следующую схему, изображенную в виде графика:
Модель готова. В чем ее польза?
С ее помощью можно ответить на вопрос, за какое наименьшее время может быть завершен весь процесс. Для этого из всего комплекса выделим две особо значимые работы. Первую - с нее начинается процесс и последнюю - ею заканчивается процесс. Ясно, что время завершения процесса не может быть меньше суммы длительностей (времени выполнения ) всех операций, взятых вдоль самого неблагоприятного, самого длинного пути, соединяющего первую и последнюю работы на построенном графике. Такой путь, т.е. путь, на котором достигается наибольшее возможное время окончания процесса, носит название критического пути. Те работы, через которые проходит критический путь, называются критическими. Эти работы следует выполнять, как только это будет возможным.
Если задержаться с выполнением критической работы, то заведомо отодвигается момент окончания всего процесса. Для каждой некритической работы имеется некоторый интервал свободы, в течение которого она может быть выполнена без ущерба для завершения срока всего процесса.
Сетевая модель, отображающая процесс выполнения комплекса работ, направленных на достижение единой цели, может быть изображена либо в виде сетевого графика (см. выше), либо в виде таблицы:
| Шифр работ | |||
| i | j | Продолжительность работ, tij | Количество исполнителей |
| 1 | 2 | 5 - 10 | 4 |
| 1 | 4 | 7 - 11 | 16 |
| 1 | 8 | 5 - 7 | 4 |
| 2 | 3 | 3 - 5 | 6 |
| 3 | 6 | 2 - 3 | 2 |
| 4 | 5 | 6 - 10 | 14 |
| 4 | 7 | 5 - 7 | 4 |
| 5 | 6 | 5 - 7 | 8 |
| 6 | 9 | 6 - 8 | 10 |
| 7 | 9 | 3 - 4 | 20 |
| 8 | 9 | 10 - 12 | 4 |
В таком виде модель используется для расчета вручную или для ввода данных в ЭВМ.
Работа и событие ( результат ) - важнейшие понятия для сетевых моделей.
Работой в сетевом графике называется любой производственный процесс, событием - результат одной или нескольких работ, т.е. результат производственного процесса.
В сетевом графике встречается несколько типов работ и событий.
Это прежде всего реальные хозяйственные и технологические процессы, требующие затрат времени и ресурсов для их осуществления. Такие работы обозначаются сплошными стрелками. Но работой могут быть процессы, требующие только затрат времени.
Например: ожидание результата какого-нибудь процесса (естественная сушка материалов), ожидание какого-либо решения или данных не нуждаются в затратах ресурсов. Такие работы называются ожиданиями и обозначаются штрих- пунктирной линией.
Третий тип работ - это так называемые фиктивные работы. Они не требуют затрат ни материальных ресурсов, ни времени, они показывают зависимость какого-либо события от другого. На сетевых графиках они показываются пунктирными стрелками.
Традиционно планы базируются только на работах, а результаты работ (события) подразумеваются. Введение в сетевые графики понятия "событие" позволяет более четко вести процесс управления, так как язык событий не допускает двусмысленности.
Событие наступает или, как говорят, свершается тогда, когда закончены все предшествующие ему работы.
Совершение события - предпосылка для начала следующих за ним работ. Событие не имеет продолжительности.
В связи с этим к его формулировке предъявляются особые требования. Каждое событие должно быть полно, точно и всесторонне определено, его формулировка должна включать в себя результат выполнения всех непосредственно предшествующих ему работ, необходимый для начала последующих работ.
Сетевой график начинается с исходного события. Предполагается, что для его свершения не нужны какие-либо предшествующие работы.
Обычно исходное событие - это принятое решение о начале какого-либо процесса (комплекса работ). Например: 7.
Завершающее событие - это конечный результат всего комплекса работ. Например: 9.
Есть еще несколько типов событий.
Начальное событие - событие, непосредственно предшествующее каждой работе.
Конечное событие - событие, которым оканчивается какая-либо работа.
Например: на предыдущем графике для работы 2 - 3 событие 2 - начальное, 3 - конечное.
Граничными событиями называются события, фиксирующие окончание работ какого-либо исполнителя (организации). Например: факт передачи исходных данных, выпуск чертежей и т.п.
Сетевой график обычно содержит одно исходное и одно завершающее события.
Если завершающих событий несколько, то такой график называется многоцелевым.
Сетевые графики обладают важным свойством - наглядностью.
Отображение логической последовательности работ, четкость их взаимосвязей дают возможность анализировать состав и порядок проведения предстоящего комплекса работ, уже это имеет организующее воздействие на их ход.
Графическое представление сетевой модели значительно упрощает ее составление, расчет, анализ и изучение.
Сетевой график - это не только график, но и модель какого-либо производственного процесса.
Важной особенностью сетевых методов является способ оценки параметров предстоящих работ. Оценку дает либо непосредственный исполнитель, либо эксперт, имеющий большой опыт работ в соответствующей области. Каждая работа оценивается по времени. Часто с временными характеристиками даются оценки:
· количества исполнителей;
· трудоемкости;
· стоимости и т.п.
Одним из важнейших понятий сетевых методов является понятие критического пути. Его определяют при расчете сетевого графика (сетевой модели).
Критическим путем называется такая последовательность взаимосвязанных работ и событий, которая имеет наибольшую продолжительность по времени.