Математические методы экономических исследований (стр. 6 из 14)

Продолжительность критического пути характеризует продолжительность всего комплекса работ в целом.

Понятие критического пути является основой оптимизации планов, координации и контроля выполнения работ.

Критический путь указывает на наиболее важные работы, от которых зависят сроки выполнения всего комплекса работ.

Как показывает опыт, количество работ и событий, входящих в критический путь, обычно не превышает 10% всех работ, что позволяет исключить из поля усиленного контроля те работы, которые в данный момент не влияют на своевременное достижение цели (а их большинство). Следовательно, имеется возможность выделить главное в работе.

Кроме выявления критического пути, расчет сетевого графика позволяет получить целый ряд других показателей:

· ранние и поздние сроки начала и окончания работ;

· резерв времени;

· вероятность наступления событий и т.д.

Эти показатели применяются для оптимизации плана и для принятия решения по рациональной организации выполнения всего комплекса работ.

Сетевые методы включают в себя ряд процедур, обеспечивающих управление на всем протяжении производственного процесса. Эти процедуры предусматривают поступление от исполнителей информации о ходе работ и о возможных изменениях их оценок или содержания. В соответствии с этой информацией сетевой график (модель) периодически уточняется.

Таким образом, сетевые методы сводятся к использованию для целей управления:

· сетевой модели комплекса работ, которая является математическим описанием какого-либо процесса и показывает состав работ, их взаимосвязи и зависимость друг от друга, а также содержит оценки параметров работ;

· сетевого графика как наглядного отображения сетевой модели;

· специальных методов расчета сетевых графиков, позволяющих определять критический путь, резервы времени и другие параметры, используемые для планирования и координации работ;

· специальных процедур сбора, обработки и подготовки информации для принятия решений.

Следовательно, сетевые методы - это совокупность приемов и способов, позволяющих на основе применения сетевых графиков (моделей) рационально осуществлять управленческий процесс: планировать, организовывать, координировать и контролировать любую сложную работу.

Рассмотрим способы определения параметров конкретного сетевого графика.

Пусть tij - продолжительность работы, которая измеряется, например, в днях. Индексы i и j указывают на начальное и конечное события работы.

В процессе расчета сетевого графика (модели) определяются и анализируются следующие основные параметры:

t (L) - продолжительность пути L;

t кр - продолжительность критического пути Lкр;

ti(p) , ti(п) - ранний и поздний сроки совершения событий;

tij(pн) , tij(пн) - ранний и поздний сроки начала работы;

tij(ро) , tij(по) - ранний и поздний сроки окончания работы;

R(L) - полный резерв времени пути;

Rij(п) - полный резерв времени работы;

- частные резервы времени.

Путем на сетевом графике называется любая непрерывная последовательность работ, направленная к завершающему событию.

Продолжительность пути t(L) есть сумма продолжительности работ, составляющих этот путь.

Для простых графиков расчет продолжительности критического пути можно сделать на “глазок”. Для сложных графиков для этих целей служат математические методы.

Рассмотрим один из них.

Введем ряд дополнительных условий. Если сетевой график не содержит отрезка, соединяющего работы i и j, то считаем tij = - m. Далее положим tii = 0. Тогда с математической точки зрения задача состоит в следующем: найти такой путь

, где Еj - работы, n - число работ, при котором величина

достигает максимума.

В основе метода лежит метод динамического программирования. Обозначим через vi (i = 1, 2, ..., n-1) величину максимального пути от вершины i до конечной вершины. (Предполагается, что вершины занумерованы так, что начальная имеет номер 1, а последняя, завершающая, ‑ номер n).

Поиск критического пути осуществляется в несколько этапов.

На первом этапе определяем величины:

, i = 1, 2, ..., n-1;

, i = 1, 2, ..., n-1.

Ясно, что они выражают продолжительности времени, необходимого для того, чтобы достичь вершины n от i-ой вершины за один шаг.

Далее переходим к вычислению:

, i = 1, 2, ..., n-1;

, j = 1, 2, ..., n,

выражающих величины максимальных путей, соединяющих вершины сетевого графика с вершиной n и состоящих из двух звеньев.

Рассуждая аналогично, шаг за шагом, вычисляем:

, i = 1, 2, ..., n-1,

, j = 1, 2, ..., n,

до тех пор, пока не окажется, что выполнены условия:

, i = 1, 2, ..., n.

Найденное значение vi^(k) будет выражать величину критического пути, соединяющего первую и n-ую вершины, а число k укажет, из скольких звеньев этот путь состоит. Можно указать, что если график состоит из n вершин, то для нахождения критического пути достаточно n-2 этапа последовательных вычислений.

Тема 8. Методы теории игр

1. Основные понятия теории игр.

2. Подход к решению задач теории игр.

Краткое содержание темы

Методы теории игр применяются для анализа и выбора решений в конфликтных ситуациях, когда налицо две стороны, преследующие противоположные цели.

Типичным примером конфликтных ситуаций в экономической системе является конкурентная борьба, например борьба за рынок.

Результат или исход игры, даже в том случае, когда он не имеет прямой количественной оценки, обычно характеризуется некоторым числом, например: выигрыш +1, проигрыш – -1, ничья – 0.

Игра может быть парной или множественной (многие участники).

Наиболее полно разработана теория парных игр с нулевой суммой, т.е. таких игр, в которых одна сторона выигрывает то, что проигрывает другая.

Процесс (развитие) игры происходит в результате последовательного выполнения тех или иных ходов.

Стратегией игрока называется совокупность правил, по которым он анализирует ситуацию и делает ходы от начала игры до ее завершения.

Задание пары стратегий (А и В) (своей и противника) в парной игре полностью определяет ее исход, т.е. выигрыш одного и проигрыш другого (при случайных ходах определяются математические ожидания выигрыша и проигрыша).

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется лишь конечное число стратегий.

Результаты конечной парной игры с нулевой суммой (КПИНС), можно задать матрицей, строки и столбцы которой соответствуют различным стратегиям, а ее элементы есть соответствующие выигрыши одной стороны (равные проигрышам другой). Эта матрица называется платежной матрицей или матрицей игры. При этом удобно проигрыш первой стороны рассматривать как ее отрицательный выигрыш, а выигрыш второй - как ее отрицательный проигрыш.

Если первая сторона имеет m стратегий, а вторая – n, то имеем дело с игрой m´n.

Рассмотрим игру m´n со следующей матрицей:

	B₁	B₂	...	B_j	...	B_n
A₁	a₁₁	a₁₂	...	a_1j		a_1n
A₂	a₂₁	a₂₂	...	a_2j		a_2n
...	...	...	...	...	...	...
A_i	a_i1	a_i2	...	a_ij		a_in
...	...	...	...	...	...	...
A_m	a_m1	a_m2	...	a_mj		a_mn

где Ai (i = 1, 2, ..., m) - стратегии первого игрока, Bj (j = 1, 2, ..., n) - стратегии второго игрока, аij - плата в сеансе игры со стратегиями Ai и Bj.

Если первый игрок применяет стратегию А_i, то другой будет стремиться к тому, чтобы выбором соответствующей стратегии свести выигрыш первого игрока к минимуму. Из "арсенала" - набора своих стратегий второй выбирает такую стратегию В_j, чтобы величина а_ij была бы минимальной, т.е. если _i есть величина этого минимума, то:

C точки зрения первого игрока (при любых ответах противника) целесообразно стремиться найти такую стратегию, при которой _i будет обращаться в максимум. Пусть этот максимум равен . Он называется нижней ценой игры. Так как значение  вычисляется по формуле:

или

, то его называют максимином. Ему соответствует максиминная стратегия (их может быть несколько), придерживаясь которой первый игрок при любых стратегиях противника обеспечит себе выигрыш, не меньший чем  (в зависимости от знака  это может быть проигрыш, который в этом случае окажется минимальным).

Аналогичным образом определяется минимальный проигрыш (который может быть в действительности и выигрышем) для второго игрока: