Практическое применение теории игр (стр. 4 из 5)
Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных СМО с ожиданием, т.е. таких СМО, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.
Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование.
В систему поступает простейший (пуассоновский) поток лини с параметром
. Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.Время обслуживания каждого требования
— случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром 
.СМО с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен.
Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Отмеченные особенности функционирования этой системы. Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО (так называемы формулы Эрланга).
Рассмотрим алгоритмы расчета показателей качества функционирования разомкнутой системы массового обслужит с ожиданием.
При изучении таких систем рассчитывают различны показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве
основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициент занятости и простоя каналов обслуживания и др.Введем в рассмотрение параметр
. Заметим, что если 
, то очередь не может расти безгранично. Это условие имеет следующий смысл: — среднее число требований, поступающих за единицу времени, 
-время обслуживания одним каналом одного требования. Тогда 
— среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступившие требования. Поэтому условие 
< 1 означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования. Важнейшие характеристики работы СМО:1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны
2. Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находятся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:
Poгде 
3. Вероятность того, что в системе находится k требований в случаи, когда их число больше числа обслуживающих каналов:
где 
4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:
5.Среднее время ожидания требованием начала обслуживания в системе:
6.Средняя длина очереди:
7.Среднее число свободных от обслуживания каналов:
8.Коэффициент простоя каналов:
.9.Среднее число занятых обслуживанием каналов:
10.Коэффициент загрузки каналов:
Перейдем к рассмотрению алгоритмов расчета характеристик функционирования замкнутых СМО. Поскольку система замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше m требований (m — число обслуживаемых объектов).
За критерий, характеризующий качество функционирования рассматриваемой системы, выберем отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе — коэффициент простоя обслуживаемого объекта. В качестве другого критерия возьмем отношение среднего числа незанятых обслуживающих каналов к их общему числу — коэффициент простоя обслуживаемого канала.
Первый из названных критериев характеризует потери времени из-за ожидания начала обслуживания; второй показывает полноту загрузки обслуживающей системы.
Очевидно, что очередь может возникнуть, лишь когда число каналов меньше наибольшего числа требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе (n < m).
Приведем последовательность расчетов характерней замкнутых СМО и необходимые формулы.
1. Определим параметр
— показатель загрузки системы, т.е. математическое ожидание числа требований поступающих в систему за время, равное средней длительности обслуживания ( 
).2. Вероятность того, что занято k обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе не превосходит числа обслуживающих каналов системы:
3. Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов:
4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны, определим, используя очевидное условие:
, откуда 
.Величину Ро можно получить также путем подстановки в равенство
значения 
, в которых Ро вводит сомножителем. Подставляя их, получаем следующее уравнение для определения Ро: 
,откуда
5.Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди),
или
.6.Коэффициент простоя обслуживаемого требования ( объекта)
.7. Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:
или
8.Среднее число свободных обслуживающих каналов
.9.Коэффициент простоя обслуживающего канала:
II. Практическое применение теории игр в задачах моделирования экономических процессах
Пример №1
На базе торговой фирмы имеется n типов товара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен быть завезен только один из этих типов товара. Если товар типа j
будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль 
. Если же этот товар не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранение принесут магазину убыток 
.Требуется выбрать тип товара, который целесообразно завезти в магазин.