Управление запасами (стр. 4 из 9)
В модели управления запасами с мгновенной поставкой и функцией затрат типа (3.1) с пропорциональными составляющими расходы за период равны
(3.4)Из условия
получаем уравнение
(3.5)для определения оптимального значения
, где F(u) – интегральная функция распределения спроса за время Т, а отношение 
обычно называют критическим числом.Для решения нижнего критического уровня запасов
необходимо решить уравнение 
(3.6)Здесь
– найденный с помощью соотношения (3.5) верхний критический уровень запасов. Расчет нижнего критического уровня в общем виде даже для известного распределения спроса представляет собой непростую задачу.Однако если параметры распределения известны, то при нахождении
можно избежать многих трудностей. Один подобный пример мы рассмотрим позже. Сейчас ограничимся нахождением верхнего уровня 
для различных распределений спроса.При равномерном распределении спроса
соотношение (3.5) примет вид
. Следовательно, оптимальный верхний уровень пополнения запасов для равномерного распределения спроса находится из соотношения 
(3.7)Для усеченного нормального распределения спроса (х ≥ 0) с параметрами а и σ уравнение (3.5) превращается в
где
– функция Лапласа. Таким образом, верхний уровень 
находится из уравнения 
(3.8)В случае показательного распределения спроса
и для 
имеем 
и (3.9)
o Пример 2. Нахождение оптимальных нижнего и верхнего критических уровней запаса при равномерно распределенном спросе
Рассчитать критические уровни
и 
запасов в статистической модели управления запасами с равномерным распределением спроса 
и мгновенной поставкой. Известно, что с = 0,1, hT = 5, pT = 10, g = 4.
Рассчитаем критическое число
Найдем верхний уровень
из соотношения (3.7): 
Нижний критический уровень
найдем из уравнения (3.6): 
где
С учетом исходных данных имеем
Далее вычислим
И наконец, найдем нижний критический уровень как меньший корень уравнения 
или, что одно и то же,
откуда
В соответствии со стратегией двух уровней
и :при z < 1,67 необходимо пополнить запас до уровня 3,3 единицы,
при z ≥ 1,67 ничего заказывать не надо.В случае дискретного распределенного спроса
Соответственно
Вычислим приращение расходов при увеличении запаса на единицу:
Покажем существование и единственность оптимального значения
, для чего исследуем знак приращения 
. При 
справедливо соотношение 
, при 
выполняется условие 
.Монотонность функции
обеспечивает однократность смены знака приращения. Очевидно, выбор 
должен производиться из условия одновременного выполнения неравенств 
и 
, которые могут быть сведены к системе неравенств для определения верхнего уровня , имеющей вид 
(3.10)Нижний критический уровень
найдем с помощью соотношения
(3.11)аналогично (3.6).
Таким образом, в качестве
выбирается такое наименьшее целое значение z, при котором неравенство (3.11) выполняется последний раз.o Пример 3. Нахождение верхнего и нижнего критических уровней при дискретно распределенном спросе
Агропромышленное объединение планирует заказать несколько грузовых автомобилей на автопредприятии для уборки сельскохозяйственной продукции. Издержки, связанные с обслуживанием одного автомобиля (в том числе расходы на бензин и др.) в течение уборочного периода, оцениваются в 3 тыс. руб. Потери объединения в случае нехватки одного автомобиля составляют 9 тыс. руб. Накладные расходы при доставке автомашин на место и обратно (по железной дороге) равны 2 тыс. руб. Необходимое количество автомобилей – случайная величина (зависящая от урожая, погодных условий и др.) с рядом распределения
| Х | 4 | 5 | 6 |
| Р(Х) | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
Найти оптимальную стратегию пополнения парка автомобилей, т.е. значения
и при отсутствии задержки в поставке.Параметры задачи:
тыс. руб., 
тыс. руб., 
тыс. руб., с=0. Определим критическое число 
Теперь найдем верхний уровень . Функция распределения 
впервые превысит число R при Х=6, следовательно, 
.