Для определения
найдем наименьшее значение z, для которого последний раз выполнено неравенство(так как с=0). Полагаем, что все денежные суммы кратны тысяче. Вычислим
Вычислим
Так как 4 ≤ 2 + 3, то
.Вычислим
Неравенство 9 ≤ 2 + 3 не выполняется, значит,
Итак, , . Отсюда следует, что при z < 5 парк автомобилей необходимо пополнить до ; при z ≥ 5 пополнять его не нужно.Расчет планового объема поставок при вероятностном спросе с фиксированной задержкой поставки
Рассмотренные выше модели с вероятностным спросом управлялись либо стратегией «двух уровней»
,либо стратегией , когда заказ на пополнение запаса выдается через равные промежутки времени Т, а объем заказа – величина не постоянная, определяемая верхним уровнем . Переход к минимизации затрат за единицу времени по обоим параметрам стратегии обычно затруднен вследствие сложного характера зависимости распределения спроса от времени. В связи с этим при отсутствии регламентированной периодичности поставок удобно перейти к стратегии с нижним критическим уровнем и фиксированным объемом поставок.Предположим, что недостачи товара в модели случаются редко, средняя величина дефицита мала сравнительно с q, а время его существования значительно меньше среднего интервала между поставками (при достаточно высокой цене штрафа все перечисленные условия должна выполняться). При этих предположениях средний уровень запаса составит
, а затраты на содержание – в единицу времени. В каждом периоде, кроме того, будут выплачиваться стоимость заказа g и штраф, среднее значение которого составитгде f(x) – плотность распределения спроса за время между выдачей заказа (момент достижения
) и получением восполнения. Количество периодов в единицу времени, очевидно, равно . Следовательно, суммарные ожидаемые затраты в единицу времени могут быть подсчитаны следующим образом: . (3.12)Приравнивая к нулю
и , убеждаемся, что оптимальные параметры стратегии должны удовлетворять соотношениям (3.13)и
. (3.14)Указанная система уравнений легко расширяется итерационным способом: задавшись начальным значением
, представляют его в (3.14) и получают . Подстановка последнего в (3.13) дает и т.д. Процесс повторяется до тех пор, пока значения параметров в последовательных итерациях не окажутся достаточно близки друг к другу. Последняя пара значений и принимается за оптимальный надор параметров. Начальное значение целесообразно определять по формуле (2.14), т.е. следует положить .Начальное приближенное по своей величине обычно оказывается достаточно близким к конечному результату. Однако более строгим критерием качества приближенного решения является сравнение затрат. Оценим относительное увеличение затрат от неточного определения
и при экспоненциально распределенном спросе за время задержки. При средней интенсивности спроса µ и задержке τ плотность распределения спроса за время τ равна , а математическое ожидание дефицита – .Отметим, что
. Следовательно, в нашем случае при оптимальном выборе q . (3.15)Подставим этот результат в (2.17), для нахождения оптимального
имеем уравнение , (3.16)откуда
. (3.17)Соответственно
Перепишем (3.17) в виде
,где коэффициент перед скобкой равен приближенному значению
, определяемому согласно (2.14), а – отношение среднего спроса за время задержки к . При малом , что следует считать типичным для практики, можно записать . (3.19)Найдем разность затрат в единицу времени
с помощью формулы (3.12), используя (3.16):Таким образом,
.Используя приближенные и допустимые при малых
разложения функции в ряди
,получаем
Так как
, то и (3.20)т.е. увеличение затрат за счет приближенного определения q примерно пропорционально времени задержки поставки.
o Пример 4. Оценка величины погрешности функции затрат при фиксированной задержке поставки
Положим
p = 100, h = 6, g = 20, µ = 5 и τ = 0,3. При этом приближенные значения параметров стратегии будут равны ; соответственно уточненные значения (при q, определяемом из (3.17)), суть и . Математическое ожидание затрат для стратегии составляет 67,7 а для – 66,3 единицы, т.е. разница , единицы, или 1,9 % .