Экономико-математическое моделирование производства (стр. 2 из 2)

Найдем обратную матрицу (Е-А)’ используя функцию в Excel (fx/математическая/МоБР),

1,0750853	0,1706485	0,2901024
В=(Е-А)-1	0,1706485	1,2969283	0,2047782
0,2901024	0,2047782	1,3481229

Найдем величины валовой продукции, используя в Excel (fx/математическая/МУМНОЖ

1,0750853	0,1706485	0,2901024	*	180	285, 66553
В=(Е-А)-1*У	0,1706485	1,2969283	0,2047782	200	=331,05802
0,2901024	0,2047782	1,3481229	200	362,79863

Рассчитаем величины производственных затрат по формуле

X_ij=a_ij*x_j

aij- технологическая матрица

xj-строка валового выпуска,

Для расчета величин условно чистой продукции используем соотношение баланса для производства:

Z=xj-∑xij

xij – по столбцу

Z1=285,66553-(0+28,566553+57,133106)=199,965871

Z2=331,05802-(33,105802+66,211604+33,105802)=198,634812

Z3=362,79863-(72,559726+36,279863+72,559726)=181,399315

Проверим баланс конечной и условно чистой продукции

∑Y_I=∑Z_J , ∑X_i=∑X_j,

Z=199,965871+198,634812 + 181,399315=580 =Y=180+200+200=580

Xi=285,66553+331,05802+362,79863=979,52218=Xj=285,66553+331,05802+

+ 362,79863=979,52218

Заполняем таблицу, подготовленную выше, матричного баланса полученными данными.

4. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Недели	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Спрос на кредитные ресурсы	43	47	50	48	54	57	61	59	65

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Y(t)=a₀+a₁t параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R\S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

Недели	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Спрос на кредитные ресурсы	43	47	50	48	54	57	61	59	65

Построим график:

Проверим на анормальность - 9 неделю, у₉=65

Оставшиеся наблюдения

Недели	1	2	3	4	5	6	7	8
Спрос на кредитные ресурсы	43	47	50	48	54	57	61	59

Для оставшихся рассчитаем: у_ср- среднее значение; S_y – средне квадратичное отклонение, используя функции Excel;

Вычислим статистику Стьюдента – t_наб=| y*-y_ср|/S_y

у_ср=52,375

(fx/статистические/СРЗНАЧ)

Sy= 6,3681686 (fx/статистическая/СТАНДОТКЛОН)

При L=5%, K=n-2=9-2=7,

t_кр= 1,8945786 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР)

t_наб= |65-52,375|/6,37=1,9819466

t_наб=1,98>t_кр=1,89

Следовательно, наблюдаемое у₉ не является аномальной и не требует замены.

С помощью программы РЕГРЕССИИ (в Excel сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ) рассчитаем и получим:

Регрессионная статистика
Множественный R	0,970013862
R-квадрат	0,940926893
Нормированный R-квадрат	0,932487878
Стандартная ошибка	1,895064601
Наблюдения	9

Дисперсионный анализ
df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	400,4166667	400,4166667	111,497238	1,4929E-05
Остаток	7	25,13888889	3,591269841
Итого	8	425,5555556

Коэффициенты		Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	40,8611	1,3767325	29,6798	1,27E-08	37,60566	44,1166	37,6057	44,11657
Неделя t	2,58333	0,2446518	10,5592	1,493E-05	2,004824	3,16184	2,00482	3,161843

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказ Спрос Y(t)	Остатки
1	43,4444	-0,4444444
2	46,0278	0,9722222
3	48,6111	1,3888889
4	51,1944	-3,1944444
5	53,7778	0,2222222
6	56,3611	0,6388889
7	58,9444	2,0555556
8	61,5278	-2,5277778
9	64,1111	0,8888889

Модель построена, ее уравнение у_t=a+b*t, t-момент времени, у_t- теоретическое моделирование значения У, а,b- коэффициенты модели

a=40,8611, b=2,6, следовательно у_t=40,8611+2,6t

коэффициент регрессии b=2,6, т. е. с каждым годом спрос на кредитные ресурсы финансовой компании в среднем возрастают на 2,6 млн. руб.

Рассмотрим столбец Остатки и построим с помощью «мастер диаграмм» в Excel график остатков:

1. Подсчитаем количество поворотных точек р для рядов остатков – р=5

2. Критическое количество определим формулой - р_кр=[2*(n-2)/3-1,96*√16*n-29/90]

[ ] – целая часть; n- количество исходных данных

р_кр=[2*(9-2)/3-1,96*√16*9-29/90]=2,451106=2

3 сравним фактическое р с р_кр

р=5 > р_кр=2 следовательно, свойство случайности выполняется.

Для проверки независимости уровней ряда остатков:

1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина – Уотсона)

2 вычислить первый коэффициент автокорреляции r(1)

для расчетов подготовим –

∑e²(t) = 25,14 - используем Excel fx/математическая/СУММКВ),

∑(e(t)-e(t-1))²= 69,72 – используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) – 1 массив кроме 1-го, 2 массив кроме последнего.

d=∑(e(t)-e(t-1))²/ ∑e²(t) = 69,72/25,14=2,77327

По таблице Значения d-критерия Дарбина – Уотсона определим, что d₁= 1,08 и d₂= 1,36

Т.е. наше d=2,77327 € (1.08;1,36), следовательно нужна дополнительная проверка, найдем d’=4-d=4-2,77327=1,22673, т.е d’ € (1,36;2)

следовательно, свойство независимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.

Для проверки нормального распределения остатков вычислим R/S – статистику

R/S=e_max-e_min_/S_e

е_max- максимальный уровень ряда остатков,

е_min- минимальный уровень ряда остатков,

S- среднеквадратичное отклонение.

е_max=2,055555556 используем Excel fx/статистическая/МАКС),

е_min=-3,194444444 используем Excel fx/статистическая/МИН),

Se=1,895064601 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»

Следовательно, R/S=2,770354107

Критический интервал (2,7;3,7), т.е R/S=2,770354107 € (2,7;3,7), свойство нормального распределения остатков выполняется.

Подводя итоги проверки можно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е_отн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениям определить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)

относит. погр-ти
-1,033591731
2,06855792
2,777777778
-6,655092593
0,411522634
1,1208577
3,369763206
-4,284369115
1,367521368
Е ср.отн=	-0,095228093

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:

у₁₀=40,8611+2,6*10=66,8611

у₁₁=40,8611+2,7*11=70,5611,

Ожидаемый спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около 66,8611 млн. руб., а на 11 неделю около 70,5611 млн. руб.

При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7, равен

t_кр(30%;7)=1,119159128 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),

S_e=1,895064601 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»,

t’_ср= 5(fx/математическая/СРЗНАЧ) - средний уровень по рассматриваемому моменту времени,

∑(t-t’_ср)=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

U₁=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)²/∑(t-t’_ср)=1,119159128*1,895064601* √1+1/9+(10-5)²/60 = =2,621476416

U₂=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)²/∑(t-t’_ср)=1,119159128*1,895064601*√1+1/10++(11-5)²/60= =2,765287696

Далее вычислим верхнюю и нижнюю границы прогноза u_ниж=y₁₀-u₁; u_верх=у₁₀+u₁; u_ниж=y₁₁-u₁; u_верх=у₁₀+u₁

u_ниж=66,8611-2,621476416=64,239623584

u_верх=66,8611+2,621476416=69,482576416

u_ниж=70,5611-2,765287696=67,795812304

u_ниж=70,5611+2,765287696=73,326387696

Спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 64,239623584 млн. руб. до 69,482576416 млн. руб., а на 11 неделю от 67,795812304 млн. руб. до 73,326387696 млн. руб.

Строим график: