Экономическая кибернетика (стр. 6 из 31)

Разновидность отображения, которая предполагает преобразования типа, «многое – в одном», мы будем в дальнейшем называть не изоморфным, а гомоморфным отображением. Хорошая модель всегда является гомоморфной. Гомоморфное отображение сохраняет определенные структурные зависимости моделируемого предмета.

Ст. Бир

Процесс познания человеком окружающего мира в значительной мере связан с созданием моделей, построенных по принципу аналогий с изучаемым объектами. Концепция модели использовалась людьми для выражения как реальных объектов (наскальная живопись, идолы), так и абстрактных понятий (системы дифференциальных уравнений). Мир моделей беспредельно обширен и разнообразен. Многочисленны определения модели, используемые различными исследователями. Достаточно общим, но содержательным представляется следующее определение.

Модель – представление системы, объекта, понятия в некоторой форме, отличной от формы их реального существования.

В кибернетическом моделировании доминирующую роль играет сходство поведения и/или структуры оригинала и модели, различие в содержании не играет определяющей роли, поскольку аналогичные зависимости между входами и выходами могут быть, по определению, реализованы объектами различной природы.

Оценка адекватности пары "оригинал-модель" может быть осуществлена с использованием понятий изоморфизма и гомоморфизма.

Изоморфизм.

В строго математическом смысле изоморфизм двух систем:

означает, что между входами и выходами обеих систем существует взаимно однозначное соответствие:

, (2.1)

где

, – отношения изоморфизма, или

(2.2)

такие, что

. (2.3)

Понятие изоморфизма систем распространяется и нa структурные, и на поведенческие характеристики систем.

Пусть

, – структура систем и , , – множество состояний систем и .

Изоморфизм структур систем

и означает, что:

. (2.4)

Изоморфизм состояний:

. (2.4)

Системы

и , между которыми существует отношение изоморфизма, называются изоморфными.

Так, например, изоморфны местность и географическая карта, объект съемки и фотография, снимок и негатив и т.д.

Наличие изоморфизма между системой-оригиналом и системой-моделью характеризует весьма высокую степень адекватности, обеспечение которой при построении модели сопряжено с большими трудностями и, вообще говоря, не является необходимым. При построении моделей исследователь, руководствуясь конкретными целями, выделяет лишь наиболее существенные факторы, присущие реальной системе, которые в модели должны быть отражены с максимальной полнотой и точностью, требуемой в данном исследовании. Остальные, несущественные факторы могут отражаться в модели либо с меньшей точностью, либо могут быть исключены. Это является преимуществом модели, поскольку позволяет проводить исследование на более простом, по сравнению с реальным, объекте. Отсутствие полного совпадения всех характеристик модели и оригинала, особенно в области экономико-математического моделирования, не позволяет утверждать наличие изоморфизма между реальной системой и ее моделью.

Важным частным случаем соотношения "оригинал-модель" является отношение гомоморфизма, при котором между системами

и , существует однозначное прямое и неоднозначно-обратное соответствие. Так, модель, полученная из реальной системы путем ее упрощения (например, за счет уменьшения числа переменных путем их объединения) является гомоморфной моделью.

Гомоморфизм.

Пусть

, – система-оригинал и ее модель, a – гомоморфизм из в причем отображение сюръективно. Отображение называется сюрьективным (накрытием, или отображением на), если для каждого найдется такое , что . Иначе . Тогда система называется гомоморфной моделью в том и только в том случае, когда

. (2.6)

Аналогично определяется понятие гомоморфных моделей для структурированных и динамических систем.

Математическое моделирование.

Традиционным представлением о математической модели является ее восприятие как инструмента для прогнозирования последствий альтернативных действий с целью выбора наиболее предпочтительного. Однако значительно важнее то, что моделирование – это метод, повышающий эффективность суждений и решений. Математические модели используются для формализации целей, присущих большинству экономических систем, и имеющихся ограничений, налагаемых действующими экономическими законами.

Однако имеется большое количество проблем, не поддающихся адекватному моделированию, например: защита окружающей среды от загрязнений, предотвращение преступности, управление развитием и ростом городов, и т.п., — они характеризуются неясностью и противоречивостью целей, альтернатив развития, диктуемых нестабильными политическими и социальными факторами.

Математические модели многофункциональны, их основные функции характеризуют широту области их применения:

1.Модели являются важным средством осмысления действительности (графические, масштабные, сетевые модели).

2.Модели выступают своеобразным средством общения, поскольку в сжатой, точной форме позволяют организовать диалог.

3.Модели выполняют функцию обучения и тренажа (обучающие программы, имитационные игры на ЭВМ, использующие принципиально отличные от реальных стимулы и мотивы принятия решений).

4.Модели широко используются как инструмент прогнозирования и планирования, позволяя рассмотреть значительное число альтернатив и оценить возможные последствия от принятия того или иного решения.

5.Моделирование является основным методом оптимизации управленческих решений, отображая или воспроизводя условия развития исследуемого процесса.

6.Применение моделей как средства построения экспериментов позволяет осуществлять управление процессом экспериментирования с большей простотой и меньшими затратами, чем если бы эксперимент проводился с реальной системой, получая, зачастую, больше полезной информации о поведении системы в условиях широкого спектра изменяющихся факторов внешней среды.

Определение экономико-математической модели: это совокупность математических выражений, описывающих экономические объекта, процессы и явления, исследование которых позволяет получить необходимую информацию для реализации целей управления моделируемой системой.

Экономико-математическая модель, как правило, включает три основные составные части:

1) целевую функцию, или функционал модели – математическое выражение цели;

систему функциональных ограничений, определяющих пределы изменения исследуемых характеристик объектов, процессов или явлений;

2) систему параметров модели, фиксирующих условия проведения модельного эксперимента (система норм, нормативов, временные параметры реального времени, системного времени, начальные условия и т.п.).