Элементы теории вероятности (стр. 2 из 4)

В прикладном статистическом анализе анализируются различные варианты формализации понятия стохастической зависимости между результирующим показателем у и объясняющими переменными х⁽¹⁾_,х ⁽²⁾_,…,х ^(р).

Наиболее распространенной в эконометрических приложениях формой представления стохастической зависимости является аддитивная линейная форма, которая и будет главным предметом исследования в нашем изложении:

(5)

Здесь y_t - значение результирующей (объясняемой) переменной, измеренное в t-u временном (или пространственном) такте, х _t⁽¹⁾_,х _t ⁽²⁾_…х _t ^(р) - значения участвующих в соотношении объясняющих переменных, полученные в том же t-м измерении, θ₁, θ₂,..., θ _t - некоторые параметры (как правило, не известные до проведения соответствующего статистического анализа), δ _t - случайная составляющая, характеризующая разницу между модельный и наблюденным значениями анализируемой результирующей переменной, зафиксированную в t-м измерении. Под модельный значением результирующей переменной ỹ_t здесь и в дальнейшем мы будем понимать ее значение, восстановленное по заданным величинам объясняющих переменных при условии, что коэффициенты θ ₁, θ ₂,..., θ _p нам известны, т.е.

(6)

При такой интерпретации модельного значения результирующей переменной случайную составляющую можно интерпретировать как случайную ошибку прогноза у по заданным значениям х ⁽¹⁾_,х ⁽²⁾_,х ^(р), причем, чтобы исключить систематическую ошибку в оценке y_t по ỹ_t, обычно полагают, что среднее значение случайной составляющей _t при всех значениях t равно нулю (т.е. Еδ _t =0). Очевидно, чем больше информации заключено в значениях объясняющих переменных х _t⁽¹⁾_,х _t ⁽²⁾_,…,х _t ^(р) относительно величины у, тем надежнее будет прогноз и тем меньше будет ошибка прогноза δ. Малость случайной величины - это значит, что ее значения сосредоточены в окрестности нуля с малой дисперсией.

Следующий шаг в развитии экономических теорий состоит в группировке отдельных соотношений в модель. Всякая математическая модель является лишь упрощенным формализованным представлением реального объекта (явления, процесса), и искусство ее построения состоит в том, чтобы совместить как можно большую лаконичность параметризации модели с достаточной адекватностью описания именно тех сторон моделируемой реальности, которые интересуют исследователя. Количество связей, включаемых в экономическую модель, зависит от условий, при которых эта модель конструируется, и от подробности объяснения, к которой мы стремимся. Например, традиционная модель спроса и предложения должна объяснять соотношения между ценой и объемом выпуска, характерные для некоторого определенного рынка. Она содержит три уравнения, а именно: уравнение спроса, уравнение предложения и уравнение реакции рынка. В эти уравнения, помимо интересующих нас объема выпуска и цены, будут входить и другие переменные; так, например, в уравнение спроса войдет потребительский доход, а в уравнение предложения - цена. Объяснение, достигнутое с помощью такой модели, обусловлено значениями некоторых «внешних» по отношению к модели переменных и в этом смысле модель является неполной, или условной. Более претенциозные модели содержат гораздо больше уравнений и с их помощью пытаются отразить поведение существенно большего числа переменных; однако и они остаются условными, поскольку тоже содержат переменные, не определяемые или не объясняемые моделью.

Все экономические модели, независимо от того, относятся они ко всему хозяйству или к его элементам (т. е. к макроэкономике, отрасли, фирме или рынку), имеют некоторые общие особенности. Во-первых, они основаны на предположении, что поведение экономических переменных определяется с помощью совместных и одновременных операций с некоторым числом экономических соотношений. Во-вторых, принимается гипотеза, в силу которой модель, допуская упрощение сложной действительности, тем не менее улавливает главные характеристики изучаемого объекта. В-третьих, создатель модели полагает, что на основе достигнутого с ее помощью понимания реальной системы удастся предсказать ее будущее движение и, возможно, управлять им в целях улучшения экономического благосостояния.

Чтобы проиллюстрировать сказанное и наметить пути для выяснения специфической роли эконометрики, рассмотрим пример весьма общей и приближенной макромодели.

Пример1:

Предположим, что экономист-теоретик сформулировал следующие положения:

• потребление есть возрастающая функция от имеющегося в наличии дохода, но возрастающая, видимо, медленнее, чем рост дохода;

• объем инвестиций есть возрастающая функция национального дохода и убывающая функция характеристики государственного регулирования (например, нормы процента);

• национальный доход есть сумма потребительских, инвестиционных и государственных закупок товаров и услуг.

Наша первая задача - перевести эти положения на математический язык. И тут мы немедленно сталкиваемся с многообразием открывающихся перед нами возможных способов удовлетворения сформулированным априорным требованиям теоретика. Какие соотношения выбрать между переменными - линейные или нелинейные? Если остановиться на нелинейных, то какими они должны быть - логарифмическими, полиномиальными или какими-либо еще? Даже определив форму конкретного соотношения, мы оставляем еще нерешенной проблему выбора для различных уравнений запаздываний по времени. Будут ли, например, инвестиции текущего периода реагировать только на национальный доход, произведенный в последнем периоде, или же на них скажется динамика не скольких предыдущих периодов? Обычный выход из этих трудностей состоит в выборе при первоначальном анализе наиболее простой из возможных форм этих соотношений. Тогда появляется возможность записать на основе указанных выше положений следующую линейную относительно анализируемых переменных и аддитивную относительно случайных составляющих модель:

где априорные ограничения выражены неравенствами

Эти три соотношения вместе с ограничениями образуют модель. В ней у_t⁽¹⁾ обозначает потребление, у _t⁽²⁾_,- инвестиции, у _t⁽³⁾ - национальный доход, х _t⁽¹⁾ - подоходный налог, х _t⁽²⁾ - норму процента как инструмент государственного регулирования, х_t⁽³⁾ - государственные закупки товаров и услуг, измеренные в «момент времени» t.

Присутствие в уравнениях (6а) и (6б) «остаточных» случайных составляющих δ_t⁽¹⁾ и δ_t⁽²⁾ обусловлено необходимостью учесть влияние соответственно на у _t⁽¹⁾ и у _t⁽²⁾ ряда неучтенных факторов. Действительно, нереалистично ожидать, что величина потребления у_t⁽¹⁾ будет однозначно определяться уровнями национального дохода (у _t⁽³⁾ ) и подоходного налога (х_t⁽¹⁾); аналогично величина инвестиций у _t⁽²⁾ зависит, очевидно, не только от достигнутого в предыдущий год уровня национального дохода (у _t-1⁽³⁾) и от величины нормы процента (х _t⁽²⁾), но и от ряда не учтенных в уравнении ( 6б ) факторов. Полученная модель содержит два уравнения, объясняющие поведение потребителей и инвесторов, и одно тождество. Модель сформулирована для дискретных периодов времени и имеет запаздывание (лаг) в один период для отражения воздействия национального дохода на инвестиции.

Этот пример объясняет общие черты одного из важнейших этапов эконометрического моделирования, в процессе которого исследователь математически формализует отдельные положения экономической теории и объединяет их в систему. В дальнейшем мы используем этот пример для пояснения ряда основных понятий эконометрического моделирования.

Проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты как один из этапов эконометрического исследования

По своему назначению и характеру решаемых задач статистические критерии чрезвычайно разнообразны. Однако их объединяет общность логической схемы, по которой они строятся. Коротко эту логическую схему можно описать так.

1.Выдвигается гипотеза Н₀.

Задаются величиной так называемого уровня значимости критерия
ά. Дело в том, что всякое статистическое решение, т. е. решение, принимаемое на основании ограниченного ряда наблюдений, неизбежно сопровождается некоторой, хотя, возможно, может и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону. Скажем, в какой-то небольшой доле случаев а гипотеза Н₀ может оказаться отвергнутой, в то время как на самом деле она является справедливой, или, наоборот, в какой-то небольшой доле случаев β мы можем принять нашу гипотезу, в то время как на самом деле она ошибочна, а справедливым оказывается некоторое конкурирующее с ней предположение - альтернативная гипотеза Н_1. При фиксированном объеме выборочных данных величину вероятности одной из этих ошибок мы можем выбирать по своему усмотрению. Если же объем выборки можно как угодно увеличивать, то имеется принципиальная возможность добиваться как угодно малых вероятностей обеих ошибок ά и β при любом фиксированном конкурирующем предположительном утверждении Н_1. В частности, при фиксированном объеме выборки обычно задаются величиной а вероятности ошибочного отвержения проверяемой гипотезы Н₀, которую часто называют «основной» или «нулевой». Эту вероятность ошибочного отклонения «нулевой» гипотезы принято называть уровнем значимости или размером критерия. Выбор величины уровня значимости а зависит от сопоставления потерь, которые мы понесем в случае ошибочных заключений в ту или иную сторону: чем весомее для нас потери от ошибочного отвержения высказанной гипотезы Н₀, тем меньшей выбирается величина ά.