Решение задач с нормальными законами в системе "Статистика" (стр. 3 из 5)
2. Определяются
элементы векторов 
средних значений по каждому j-му признаку для i объектов внутри k-го подмножества (k = 1, 2):
Результаты расчета представляются в виде векторов столбцов
: 
3. Для каждого обучающего подмножества рассчитываются ковариационные матрицы S(k) (размером p×p):
4. Рассчитывается объединенная ковариационная матрица
по формуле: 
5. Рассчитывается матрица
обратная к объединенной ковариационной матрице 
: 
где |
|— определитель матрицы , (причем 
), - присоединенная матрица, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы .6. Рассчитывается вектор-столбец
дискриминантных множителей с учетом всех элементов обучающих подмножеств по формуле: 
Данная расчетная формула получена с помощью метода наименьших квадратов из условия обеспечения наибольшего различия между дискриминантными функциями. Наилучшее разделение двух обучающих подмножеств обеспечивается сочетанием минимальной внутригрупповой вариации и максимальной межгрупповой вариации.
7. По каждому i-му объекту (i = 1, 2, ..., N) множества М определяется соответствующее значение дискриминантной функции:
8. По совокупности найденных значений F(k) рассчитываются средние значения для каждого подмножества Mk:
9. Определяется общее среднее (константа дискриминации) для дискриминантных функций
10. Выполняется распределение (дискриминация) объектов подмножества М0 подлежащих дискриминации по обучающим выборкам М1 и М2. С этой целью рассчитанные и п. 7 по каждому i-му объекту значения дискриминантных функций
сравниваются с величиной
общего среднего. На основе сравнения данный объект относят к одному из обучающих подмножеств.Если
, то i-й объект подмножества М0 относят к подмножеству М1, при 
>0 и к подмножеству М2 при <0. Если же 
< 
, то заданный объект относят к подмножеству М1, при < 0 и к подмножеству М2 в противном случае.11. Далее делается оценка качества распределения новых объектов, для чего оценивается вклад переменных в дискриминантную функцию.
Влияние признаков на значение дискриминантной функции и результаты классификации может оцениваться по дискриминантным множителям (коэффициентам дискриминации), по дискриминантным нагрузкам признаков или по дискриминантной матрице.
Дискриминантные множители зависят от масштабов единиц измерения признаков, поэтому они не всегда удобны для оценки.
Дискриминантные нагрузки более надежны в оценке признаков, они вычисляются как парные линейные коэффициенты корреляции между рассчитанными уровнями дискриминантной функции F и признаками, взятыми для ее построения.
Дискриминантная матрица характеризует меру соответствия результатов классификации фактическому распределению объектов по подмножествам и используется для оценки качества анализа. В этом случае дискриминантная функция F формируется по данным объектов (с измеренными p признаками) обучающих подмножеств, а затем проверяется качество этой функции путем сопоставления фактической классовой принадлежности объектов с той, что получена в результате формальной дискриминации.
3. ПРИМЕРЫ ДИСКРИМИНАНТНОГО АНАЛИЗА
3.1 Применение дискриминантного анализа при наличии двух обучающих выборок (q=2)
Имеются данные по двум группам промышленных предприятий отрасли: Х1 - среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. д.ед.; Х2 — среднесписочная численность персонала, тыс. чел.; Х3 — балансовая прибыль млн. д.ед.
Исходные данные представлены в таблице 2.
Таблица 2
| Номер группы Mk (k =1, 2) | Номер предприятия, i (i = 1, 2, ..., nk) | Свойства (показатель), j (j = 1, 2, ..., p) | |||
| Х1 | Х2 | Х3 | |||
| Группа 1, M1 (k = 1) | 1 | 224,228 | 17,115 | 22,981 | |
| 2 | 151,827 | 14,904 | 21,481 | ||
| 3 | 147,313 | 13,627 | 28,669 | ||
| 4 | 152,253 | 10,545 | 10,199 | ||
| Группа 2, M2 (k = 2) | 1 | 46,757 | 4,428 | 11,124 | |
| 2 | 29,033 | 5,51 | 6,091 | ||
| 3 | 52,134 | 4,214 | 11,842 | ||
| 4 | 37,05 | 5,527 | 11,873 | ||
| 5 | 63,979 | 4,211 | 12,860 | ||
| Группа предприятий M0, подлежащих дискриминации | 1 | 55,451 | 9,592 | 12,840 | |
| 2 | 78,575 | 11,727 | 15,535 | ||
| 3 | 98,353 | 17,572 | 20,458 | ||
Необходимо провести классификацию (дискриминацию) трех новых предприятий, образующих группу М0 с известными значениями исходных переменных.
Решение:
1. Значения исходных переменных для обучающих подмножеств M1 и M2 (групп предприятий) записываются в виде матриц X(1) и X(2) :
и для подмножества M0 группы предприятий, подлежащих классификации в виде матрицы X(0):
Общее количество предприятий, составляющих множество М, будет равно N = 3+4+5 = 12 ед.
2. Определяются элементы векторов
средних значений по j признакам для i-х объектов по каждой k-й выборке (k = 1, 2), которые представляются в виде двух векторов 
(по количеству обучающих выборок): 
3. Для каждого обучающего подмножества M1 и M2 рассчитываются ковариационные матрицы Sk (размером р×р):
4. Рассчитывается объединенная ковариационная матрица:
5. Рассчитывается матрица
обратная к объединенной ковариационной матрице: 
6. Рассчитываются дискриминантные множители (коэффициенты дискриминантной функции) по всем элементам обучающих подмножеств: