Составление и решение уравнений линейной регрессии (стр. 3 из 3)

3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у2, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х4 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1 и х4 (табл. 9)

Таблица 9

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	у1	х4
1	-1	0
2	0	a24

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, третье уравнение идентифицируемо.

Вывод: все уравнения системы идентифицируемы, систему можно решать.

Задача 2б

Решение

Запишем систему уравнений:

у1=b₁₃у3+a₁₁ х1+a₁₃ х3+a₁₄ х4

у2= b₂₁ у1+b₂₃ у3+a₂₂ х2+a₂₄ х4

у3=b₃₁ у1+a₃₁ х1+a₃₃ х3+a₃₄ х4

Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В первом уравнении две эндогенные переменные у1, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2 и х2 (табл. 10)

Таблица 10

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	у2	х2
2	-1	a22
3	-1	0

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.

2) Во втором уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х3 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1 и х3 (табл. 11)

Таблица 11

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	х1	х3
1	a11	а13
3	a31	a33

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.

3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у1, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2 и х2 (табл. 12)

Таблица 12

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	у2	х2
1	0	0
2	-1	a22

Определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Вывод: не все уравнения системы идентифицируемы, систему решать нельзя.

Задача 2в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), построить структурную форму модели вида:

y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + e1

y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + e2

Вар.	n	y1	y2	x1	x2
8	1	61,3	31,3	9	7
	2	88,2	52,2	9	20
	3	38,0	14,1	4	2
	4	48,4	21,7	2	9
	5	57,0	27,6	7	7
	6	59,7	30,3	3	13

Решение

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в табл. 13.

Таблица 13. Фактические данные для построения модели

n	y1	y2	x1	x2
1	61,3	31,3	9	7
2	88,2	52,2	9	20
3	38	14,1	4	2
4	48,4	21,7	2	9
5	57	27,6	7	7
6	59,7	30,3	3	13
Сумма	352,60	177,20	34,00	58,00
Среднее значение	58,77	29,53	5,67	9,67

Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

у1=d11x1+d12x2+u1

y2=d21x1+d22x2+u2, где u1 и u2 – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК. Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у=у-у_ср и х=х-х_ср. Преобразованные таким образом данные табл. 13 сведены в табл. 14. Здесь же показаны промежуточные рассчеты, необходимые для определения коэффициентов d.

Таблица 14

n	у1	у2	х1	х2	у1*х1	х12	х1*х2	у1*х2	у2*х1	у2*х2	х22
1	2,53	1,77	3,33	-2,67	8,444	11,111	-8,889	-6,756	5,889	-4,711	7,111
2	29,43	22,67	3,33	10,33	98,111	11,111	34,444	304,144	75,556	234,222	106,778
3	-20,77	-15,43	-1,67	-7,67	34,611	2,778	12,778	159,211	25,722	118,322	58,778
4	-10,37	-7,83	-3,67	-0,67	38,011	13,444	2,444	6,911	28,722	5,222	0,444
5	-1,77	-1,93	1,33	-2,67	-2,356	1,778	-3,556	4,711	-2,578	5,156	7,111
6	0,93	0,77	-2,67	3,33	-2,489	7,111	-8,889	3,111	-2,044	2,556	11,111
Σ	0,00	0,00	0,00	0,00	174,333	47,333	28,333	471,333	131,267	360,767	191,333

Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:

Σу₁х₁=d₁₁Σx₁²+d₁₂Σx₁x₂;

Σy₁x₂=d₁₁Σx₁x₂+d₁₂Σx₂².

Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:

174,333= 47,333d₁₁+28,333d₁₂

471,333=28,333d₁₁+191,333d₁₂.

Решение этих уравнений дает значения d₁₁=2,423, d₁₂=2,105. Первое уравнение приведенной формы примет вид: у₁=2,423х₁+2,105х₂+u₁.

Для нахождения коэффициентов второго приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:

Σу₂х₁=d₂₁Σx₁²+d₂₂Σx₁x₂

Σy₂x₂=d₂₁Σx₁x₂+d₂₂Σx₂²

Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:

131,267=47,333d₂₁+28,333d₂₂

360,767=28,333d₂₁+191,333d₂₂.

Решение этих уравнений дает значения d₂₁=1,805, d₂₂=1,618. Второе уравнение приведенной формы примет вид: у₂=1,805х₁+1,618х₂+u₂

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х₂из второго уравнения приведенной модели:

х₂=(у₂-1,805х₁)/1,618.

Подставив это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

у₁=2,423х₁+2,105 (у₂-1,805х₁)/1,618=2,423х₁+1,3у₂-1,115х₁=1,3у₂+1,308х₁

Таким образом, b₁₂=1,3 а₁₁=1,308.

Найдем х₁ из первого уравнения у₁=2,423х₁+2,105х₂ приведенной формы:

х₁=(у₁-2,105х₂)/2,423

Подставив это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

у₂=1,805 (у₁-2,105х₂)/2,423+1,618х₂=0,745 у₁-0,868х₂ +1,618х₂=0,745у₁+0,75х₂

Таким образом, b₂₁= 0,745 а₂₂=0,75

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

А₀₁=у_1,ср-b₁₂у_2,ср-а₁₁х_1,ср=58,77 – 1,3*29,53–1,308*5,67=14,04

А₀₂=у_2,ср-b₂₁у_1,ср-а₂₂х_2,ср=29,53–0,745*58,77–0,75*9,67=-5,83

Окончательный вид структурной модели:

y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + e1=14,04+1,3у₂+1,308х₁+e1;

y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + e2=-5,83+0,745у₁+0,75х₂+ e2.