Задачі максимізації та оптимізації діяльності підприємства (стр. 2 из 2)

Встановимо спочатку витрати на доставку товару за час T. Тому що кількість партій дорівнює частці від розподілу загального обсягу постачань Q на обсяг однієї партії х, то витрати рівні

. Витрати на збереження встановимо, виходячи з того, що отримана складом партія товару х витрачається рівномірно, таким чином, на складі зберігається в середньому кількість товару, рівна половині поставленої партії, тобто . Множачи цю кількість на час T і на питомі витрати збереження одиниці товару на одиницю часу, одержуємо, що загальні витрати на збереження рівні . Таким чином, сумарні витрати C складають

.

Треба знайти значення обсягу партії х, при якому сумарні витрати З виявляться мінімальними. Як відомо з математики, у точці екстремуму безупинної функції З(х) похідна від її за аргументом х дорівнює нулю. Отже,

,

звідки знаходимо шукане значення х0, тобто оптимальний обсяг партії товару

.

Це і є роз’вязання задачі.

Наприклад, якщо З1 = 6000 грн. за доставку партії товару, З2 = 300 грн. за збереження тонни товару на складі протягом доби, загальний обсяг постачання Q = 100 тонн за час Т = 40 доби, то

т,

тобто для мінімізації витрат на доставку і збереження товару на складі треба поставляти його на склад партіями по 10 тонн у кожній партії.

5. Ігрові моделі

Ігрові економіко-математичні моделі являють математичний опис економічних ситуацій, в яких відбувається зіткнення, протиставлення інтересів двох або декількох протиборствуючих сторін (гравців), які переслідують різні цілі і діють таким чином, що лінія, спосіб дії одного з учасників залежить від дій іншого. Математична модель подібної конфліктної ситуації одержала назву гри, в якій беруть участь особи, які протистоять; сторони іменуються гравцями, а результат протистояння сторін називають виграшем і, відповідно програшем. Якщо виграш гравця дорівнює програшу його супротивника, то така гра двох осіб називається грою з нульовою або антагоністичною сумою.

Ігрові моделі дозволяють учасникам гри вибрати так звану оптимальну стратегію, тобто встановити, в залежності від ситуації, що складається, спосіб дій, який дозволяє максимізувати можливий виграш або мінімізувати можливий програш. Найбільш простий варіант гри – парна кінцева гра двох гравців, у якій кожний з них має вибір з кінцевого числа стратегій. Обрисуємо модель такої гри взагалі, а потім наведемо ілюстровані приклади її використання.

Припустимо, що в грі беруть участь гравці А і В. Гравець А має у своєму розпорядженні n стратегій, способів дій: A1, A2, …, An, а гравець В має у своєму розпорядженні можливість реалізувати m стратегій: B1, B2, …, Bm... В залежності від того, яку стратегію Aj (i=1,2,…,n)вибере гравець А і яку стратегію Bj (j=1,2,…,m) вибере гравець В, залежить результат гри кожного з них, тобто виграш aij одного з гравців і, відповідно, програш іншого. Таким чином, будь-якій парі стратегій (Ai, Bj) відповідає визначене значення виграшу aij. У підсумку сукупність усіх можливих виграшів у даній грі утворить матрицю, стовпці якої відповідають стратегії одного гравця, а рядка – стратегії іншого. Таку матрицю називають платіжною або матрицею гри.

Загальний вид платіжної матриці, рядки якої відповідають стратегіям гравця А, а стовпці – стратегіям гравця В, зображений на рис. 2.

Рисунок 2. - Платіжна матриця парної гри

B1	B2	Bm
A1	a11	a12	a1m
A2	a21	a22	a2m
An	an1	an2	anm

При виборі своєї стратегії Ai з нчиру n можливих стратегій А1, А2, …, Аn гравець А повинний враховувати, що його суперник У вибере у відповідь стратегію Bj з нчиру можливих стратегій, прагнучи звести виграш гравця А до мінімуму. Нехай найменший із усіх можливих виграшів гравця А при виборі ним стратегії Ai, тобто найменше значення aij у “i” рядку платіжної матриці дорівнює ai, тобто ai = min aij. Найбільше зі значень ai(i=1, 2, …, n) познаніжо, a, отже, a = max ai. Таке максимальне значення з набору мінімальних виграшів гравця, що відповідають усьому спектру застосовуваних ним стратегій, називають нижньою ціною або максимальним виграшем з мінімальних – максиміном. Максимін являє собою гарантований виграш гравця А при будь-якій стратегії гравця В, тому що гравець А може вибрати ту стратегію, яка приносить йому максимальний виграш з мінімально можливих.

Гравець В, прагнучи зменшити виграш гравця А і розуміючи, що А прагне до максимального виграшу, вибираючи свою контрстратегію Вj, аналізує, насамперед, максимально можливі виграші гравця А. Нехай серед усіх виграшів гравця А при виборі гравцем В стратегії Bj максимально можливе значення дорівнює bj, тобто bj = max bij. Найменше з усіх можливих значень bj(j=1, 2, …, m) познаніжо b, тобто b = min bj. Таке мінімальне значення з нчиру максимальних виграшів гравця, що відповідає всьому спектру застосовуваних ним стратегій, називають верхньою ціною гри або мінімальним виграшем з максимальних – мінімаксом. Мінімакс являє неминучий програш гравця В при кожній зі стратегій гравця А, тому що гравець А буде, природно, прагнути максимізувати програш гравця В і відповідним чином вибирати свою стратегію.

Відомий у теорії ігор принцип мінімакса рекомендує гравцям вибирати з розумінь обережності, зменшення ризику максимінну стратегію при прагненні одержати найбільший виграш або мінімаксну при прагненні мінімізувати програш. Проілюструємо це положення на простих прикладах.

6. Модель гри Людини з Природою

У багатьох випадках результат діяльності людей залежить не тільки від вибору ними тієї або іншої стратегії, але і від ситуацій, що складаються в зовнішнім середовищі. Класичний випадок – вплив погодних умов, природних явищ на підсумки економічної діяльності. Люди як би грають із Природою, що створює різні ситуації, які не сприяють одержанню людьми кращих результатів. Яку ситуацію “вибере” Природа у своїй грі з людьми – важко передбачати і тому доводиться враховувати можливі ситуації.

Нехай Людина має у своєму розпорядженні можливість здійснювати три стратегії дій Ai з метою одержання прибутку, а Природа здатна створити чотири види ситуацій Bj, кожна з яких впливає тим або іншим способом на величину прибутку. Складемо платіжну матрицю, у клітинах якої зафіксовані розраховані визначеними методами (які в прикладі не розглядаються) величини можливого прибутку. Наприклад, матриця прибутків у тисячах грн. має вид:

B1	B2	B3	B4
A1	25	32	29	27
A2	29	36	28	32
A3	27	28	31	24

Застосуємо максимінну стратегію, прагнучи дістати найбільший прибуток. Виділимо в кожнім з рядків матриці мінімальні значення прибутку, що можуть бути отримані при здійсненні однієї з можливих стратегій A1, A2, A3 і самих несприятливих умовах, створюваних Природою. Це 25 тис. грн. при стратегії А1, 28 тис. грн. при стратегії А2 і 24 тис. грн. при стратегії А Максимальне з цих значень – 28 тис. грн.. відповідає максимінній стратегії А2, що і варто вибрати, забезпечивши тим самим гарантоване одержання цієї величини прибутку при будь-яких умовах, ситуаціях, створюваних Природою.

Проілюструємо тепер мінімаксну стратегію, використовуючи платіжну матрицю, у клітинах якої зазначені величини втрат, що виникають при здійсненні стратегій A1, A2, A3 в умовах B1, B2, B3, B4. Нехай матриця має вид

B1	B2	B3	B4
A1	53	55	48	51
A2	49	52	50	56
A3	51	53	52	47

Виділяємо в кожному з рядків матриці максимально можливі при здійсненні даної стратегії втрати. Це – 55 при стратегії А1, 56 – при стратегії А2 і 52 – при стратегії А Мінімальне з цих значень дорівнює 52 і відповідає стратегії А3, що і є мінімаксною.