Использование модели экономического цикла Самуэльсона-Хикса (стр. 2 из 5)
Рост инвестиций на определенную величину может увеличить национальный доход на многократно большую величину вследствие эффекта мультипликатора. Возросший доход, в свою очередь, вызовет в будущем опережающий рост инвестиций вследствие действия акселератора. Эти производные инвестиции, являясь элементом совокупного спроса, порождают очередной мультипликационный эффект, который снова увеличит доход, побуждая тем самым предпринимателей к новым инвестициям. Но не будем забывать, что как и эффект мультипликатора может действовать «в обратную сторону», так и эффект акселератора-мультипликатора может вызывать многократно большее снижение инвестиций, нежели изменение дохода (реального ВВП).
Таким образом, взаимодействие мультипликатора и акселератора порождает непрерывный и прогрессирующий рост выпуска продукции или дохода.
Если теоретически взаимодействие мультипликатора и акселератора допускает взрывоопасные колебания, то на практике взрывов не происходит, поскольку колебания дохода наталкиваются на определенные границы. Верхний предел роста национального дохода задается уровнем полной занятости. Ударившись об этот «потолок» рост реального дохода прекращается. Тогда производные инвестиции сокращаются до нуля, что в свою очередь, приводит к сокращению общего спроса и дохода. В своем падении национальный доход наталкивается на нижний предел, определяемый величиной амортизационных отчислений для простого восстановления основного капитала. Отрицательно чистые капиталовложения не могут превышать величины «изношенного» капитала. Достигнув этого уровня отрицательные инвестиции не меняются, а значит, сокращение дохода замедляется, а это, в свою очередь, ведет к сокращению отрицательных чистых капиталовложений, что обусловливает рост дохода, а за ним и индуцированных инвестиций. Таким образом, когда национальный доход достигает верхней или нижней границы, он меняет движение на противоположное, что исключает как взрыв, так и полное затухание цикла.
Рассмотрим механизм взаимодействия мультипликатора и акселератора на условном числовом примере. Пусть величина национального дохода в базовом и в двух предшествующих ему периодах равна 120. Базовый уровень автономных инвестиций - 48, предельная склонность к потреблению и акселератор постоянны и равны, соответственно, 0,6 и 0,7. Предположим, что в периоде 1 автономные инвестиции возросли с 48 до 60 и в дальнейшем сохранялись на этом уровне. Результаты данного инвестиционного всплеска отразим в Таблице 1.
Таблица 1 Пример действия эффекта мультипликатора-акселератора
| Период | Сt = MPC yt-1 | It a | Itин = b(yt – yt-1) | yt = Ct + It a+ Itин |
| 0 | 72 | 48 | 0 | 120 |
| 1 | 72 | 60 | 0 | 132 |
| 2 | 79,2 | 60 | 8,4 | 147,6 |
| 3 | 88,6 | 60 | 10,9 | 159,5 |
| 4 | 95,7 | 60 | 8,3 | 164 |
| 5 | 98,4 | 60 | 3,2 | 161,6 |
| 6 | 97 | 60 | -1,7 | 155,3 |
| 7 | 93,2 | 60 | -4,4 | 148,8 |
| 8 | 89,3 | 60 | -4,6 | 144,7 |
| 9 | 86,8 | 60 | -2,9 | 143,9 |
| 10 | 86,3 | 60 | -0,6 | 145,7 |
| 11 | 87,4 | 60 | 1,3 | 148,7 |
| 12 | 87,2 | 60 | 2,1 | 149,3 |
| 13 | 89,6 | 60 | 0,4 | 150 |
| 14 | 90 | 60 | 0,5 | 150,5 |
| 15 | 90,3 | 60 | 0,4 | 150,7 |
| 16 | 90,4 | 60 | 0,1 | 150,5 |
| 17 | 90,3 | 60 | -0,1 | 150,2 |
| 18 | 90,1 | 60 | -0,2 | 149,9 |
| 19 | 89,9 | 60 | -0,2 | 149,7 |
| 20 | 89,8 | 60 | -0,1 | 149,7 |
| 21 | 89,8 | 60 | 0 | 149,8 |
В периоде 1 национальный доход увеличился на величину прироста автономных инвестиций (ΔI1a = 12) и составил 132. Данное обстоятельство привело в периоде 2 к увеличению объема совокупного потребления до 79,2 и к появлению индуцированных инвестиций в размере 8,4. Это означает, что здесь действуют и мультипликатор и акселератор.
В периоде 3 объем производных инвестиций достиг максимального значения (Itин= 10,9), поскольку в предыдущем периоде произошел максимальный прирост национального дохода (Δу2 = y2 - y1 = 15,6). В дальнейшем (периоды 4 и 5) величина индуцированных капиталовложений уменьшалась из-за падения темпов прироста национального дохода в периодах 3 и 4. Более того, начиная с периода 6, производные инвестиции приняли отрицательное значение. Это объясняется снижением уровня дохода в предшествующем периоде (I6ин = -1,7, поскольку Δу5 = y5 - y4 = 15,6). Совокупное потребление продолжало возрастать и в периоде 5 достигло максимальной величины (98,4), поскольку в предыдущем периоде национальный доход был максимален (164). В дальнейшем, с 6 по 10 период происходило снижение объема потребления.
Табличные данные отражают затухающие колебания национального дохода, совокупного потребления и производных инвестиций. Если бы действовал только один мультипликатор, то при данном варианте автономного инвестирования система устремилась бы к новому равновесному состоянию. Подключение акселератора привело к волнообразным колебаниям экономической системы.
В данном числовом примере мультипликатор и акселератор фигурируют в качестве постоянных величин. В реальной экономической жизни не существует постоянных коэффициентов мультипликации и акселерации в силу действия таких переменных факторов, как научно-технический прогресс, сальдо торгового баланса, товарные запасы, степень монополизации производства и т. д.
1.3 Линейные конечно-разностные уравнения и их применение в экономике
Динамика объектов различной природы часто описывается уравнениями вида
xt = F(xt-1, xt-2, ... , xt-n),(7)
связывающими состояние объекта xt в любой момент времени t с состояниями в предшествующие моменты времени. Решение уравнения (7) n-го порядка определено однозначно, если заданы n так называемых начальных условий. Обычно в качестве начальных условий рассматриваются значения xt при t = 0, 1,..., n - 1.
Подставляя начальные значения xn-1, ... , x1, x0 и t = n в качестве аргументов функции в правой части (7), находим xn; используя найденное значение и подставляя теперь xn, xn-1, ... , x2x1 и t = n + 1 в качестве аргументов функции, находим xn+1, и т.д. Процесс может быть продолжен до тех пор, пока не будут исчерпаны все представляющие интерес значения t.
В модели экономических циклов Самуэльсона-Хикса используются конечно-разностные уравнения вида xt = a1xt-1 + a2xt-2 + f(t) - линейные конечно-разностные уравнения второго порядка, являющиеся частным видом уравнения (7). Они называются однородными, еслиf(t) = 0 при любых t, неоднородными - в противном случае. И для нахождения, и для исследования свойств решения однородного уравнения
xt = a1xt-1 + a2xt-2 ,(8)
используется так называемое характеристическое уравнение
- a1 
- a2 ,(9) 
Обозначим его корни
1, 2 и запишем 
В теории конечно-разностных уравнений[4] доказывается, что при
1 
2 решение уравнения (8) описывается равенством 
, (10)где A1 и A2 - постоянные, определяемые начальными условиями.
Если же
1 = 2 = , то решение имеет вид 
, (11)Решение уравнения (8) зависит от значения дискриминанта
характеристического уравнения (9).Рассмотрим возникающие при этом случаи.1. D > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня. Решение описывается равенством (10); если оба корня положительны, то обе компоненты решения - монотонные геометрические прогрессии. Если имеются отрицательные корни, то каждому из них отвечает знакочередующаяся составляющая решения (10).2. D = 0. Характеристическое уравнение имеет совпадающие вещественные корни, и решение имеет вид (11).
3. D < 0. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней:
1,2 = 
i 
.Равенство (10) при этом справедливо, но неудобно для использования, так как вещественный процесс при этом описывается как сумма комплексных составляющих. Более удобную форму решения можно получить, используя тригонометрическое представление корней:
1,2 = g(cos 
sin ), где 
Такое представление позволяет описать решение уравнения (8) равенством