Елементи дисперсійного аналізу і теорії кореляції (стр. 4 из 5)
(14) 
(15)2.4 Визначення параметрів вибіркового рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії за незгрупованих даних
Нехай під час дослідження кількісних ознак (
, 
) у результаті 
незалежних випробувань отримано пар чисел: 
, 
,..., 
. Будемо шукати функцію 
в лінійному наближенні (все аналогічно проводиться і для функції 
у випадку регресії на ). Крім того, у припущенні незгрупованих даних спостережень (різні значення 
ознаки і відповідні їм значення 
ознаки спостерігалися по одному разу) 
і 
можна замінити на і . Під час цього рівняння прямої лінії регресії на можна подати у вигляді 
(16)Кутовий коефіцієнт
прямої (16) називається вибірковим коефіцієнтом регресії на і позначається 
. Він є оцінкою коефіцієнта регресії 
в рівнянні (10). Тепер рівняння (16) можна переписати 
(17)Підберемо параметри
і 
так, щоб сума квадратів відхилень прямої (17) від точок , ,..., , побудованих за даними спостережень, була б мінімальною 
(18)де
– ордината, що спостерігається, і є відповідною до 
, 
– ордината точки, що лежить на прямій (17) і має абсцису , 
.Підставивши значення
з рівняння (17) у формулу (18), одержимо 
(19)Дорівнявши нулю частинні похідні
і 
функції (19) одержимо систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь щодо параметрів 
і для знаходження точки її мінімуму 
(20)де
, 
, 
, 
звідкіля остаточно знаходимо
Аналогічно визначається вибіркове рівняння прямої лінії регресії
на .2.5 Знаходження параметрів вибіркового рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії за згрупованими даними
При великій кількості спостережень одне й те ж саме значення
може зустрітися 
раз, значення – 
раз, одна й та ж пара чисел 
може спостерігатися 
раз. Тому дані спостережень групують, тобто підраховують відповідні частоти , , . Усі згруповані дані записують у вигляді таблиці, що називають кореляційною.Приклад такої таблиці приведено нижче (табл. 3).
Таблиця 3
| | | ||||
| 10 | 20 | 30 | 40 | | |
| 0,4 | 5 | – | 7 | 14 | 26 |
| 0,6 | – | 2 | 6 | 4 | 12 |
| 0,8 | 3 | 19 | – | – | 22 |
| | 8 | 21 | 13 | 18 |  |
У першому рядку цієї таблиці дано перелік значень (10; 20; 30; 40) ознаки
, що спостерігаються, а в першому стовпці – спостерігаємі значення (0,4; 0,6; 0,8) ознаки . На перетинанні рядків і стовпчиків знаходяться частоти пар значень ознак. Наприклад, частота 5 вказує, що пара чисел (10; 0,4) спостерігається 5 разів. Риска означає, що відповідна пара чисел, наприклад (20; 0,4), не спостерігається.В останньому стовпчикові записані суми частот рядків. В останньому рядку записані суми частот стовпчиків. У нижньому правому куті таблиці, поміщена сума всіх частот (загальна кількість всіх спостережень
).У випадку згрупованих даних з урахуванням очевидних співвідношень
, 
, 
, 
систему рівнянь (20) можна переписати у виправленому вигляді
З рішення цієї системи (
, ) знаходимо рівняння прямої регресії