Математические модели в менеджменте и маркетинге (стр. 3 из 8)
Метод Монте-Карло. Имитация с помощью метода Монте-Карло состоит из пяти простых этапов:
1. Установление распределения вероятностей для существенных переменных.
2. Построение интегрального распределения вероятности для всех переменных.
3. Установление интервала случайных чисел для каждой переменной.
4. Генерация случайных чисел.
5. Имитация путем многих попыток.
Проимитируем спрос на автомашины в салоне ЛОГОВАЗ в течение 10 последовательных дней. Для этого из таблицы случайных чисел мы выбираем значения, начиная из верхнего левого угла и двигаясь вниз в первом столбце.
39 — спрос за 10 дней. 39/10 = 3,9 — средний ежедневный спрос.
Пример 2. Груженые баржи, отправляемые вниз по Волге из индустриальных центров, достигают Астрахани. Число барж, ежедневно входящих в док, колеблется от 0 до 5. Вероятность прихода 0,1,...,5 барж показана в таблице. В этой же таблице указаны интегральные вероятности и соответствующие интервалы случайных чисел для каждого возможного значения.
Аналогичная информация дана о числе разгружаемых барж.
Имитация очереди на разгрузку барж в порту Астрахани представлена в следующей таблице.
4. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Магазин электрооборудования Проводкова продает электрические дрели. В течение 300 дней Проводкой регистрировал дневной спрос на дрели. Распределение вероятностей величины спроса показано в таблице. Интегральные вероятности величин спроса показаны в четвертом столбце табл. В пятом столбце определены интервалы случайных чисел для определения возможных значений спроса.
Когда Проводков делает заказ, чтобы возобновить свои запасы электрических дрелей, его выполнение происходит с лагом в 1, 2 или 3 дня. Это означает, что время восстановления запаса подчиняется вероятностному распределению. В табл. показаны данные, позволяющие определить вероятности сроков выполнения заказов и интервалы случайных чисел на основе информации о 50 заказах.
Первая стратегия резервирования, которую хочет имитировать Проводков, — делать заказ в объеме 10 дрелей при запасе на складе 5 штук.
Реализуется четырехшаговый процесс имитации.
1. Каждый имитируемый день начинается с проверки, поступил ли сделанный заказ. Если заказ выполнен, то текущий запас увеличивается на величину заказа (в данном случае — на 10 единиц).
2. Путем выбора случайного числа генерируется дневной спрос для соответствующего распределения вероятностей.
3. Рассчитывается итоговый запас, равный исходному запасу за вычетом величины спроса. Если запас недостаточен для удовлетворения дневного спроса, спрос удовлетворяется, насколько это возможно. Фиксируется число нереализованных продаж.
4. Определяется, снизился ли запас до точки восстановления (в примере — 5 единиц). Если да, причем не ожидается поступления заказа, сделанного ранее, то делается заказ.
Первый эксперимент Проводкова. Объем заказа — 10 штук, точка восстановления запаса — 5 штук.
среднее число упущенных продаж = 2 упущенные продажи / 10 дней =0,2 шт./день.
Второй эксперимент Проводкова. Проводков оценил, что каждый заказ на дрели обходится ему в 10 000 р., хранение каждой дрели — в 5000 в день, одна упущенная продажа — в 80 000 р. Этой информации достаточно, чтобы оценить средние ежедневные затраты для этой стратегии управления запасами. Определим три составляющие затрат:
ежедневные затраты на заказы = (затраты на один заказ) х (среднее число заказов в день) = 10000 х 0,3 = 3000;
ежедневные затраты на хранение = (затраты на хранение одной единицы в течение дня) х (средняя величина конечного запаса) = 5000 х 4,1 = 20500;
ежедневные упущенные возможности = (прибыль от упущенной продажи) х (среднее число упущенных продаж в день) = 80000 х 0,2 = 16000,
общие ежедневные затраты = затраты на заказы + затраты на хранение + упущенные продажи = 39500.
5. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1. Основные понятия
Производственная функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции
Точное толкование понятий затрачиваемого (или используемого) ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых (с помощью ПФ) задач (аналитических, плановых, прогнозных), наличия исходных данных.
На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах (объем человеко-часов - натуральный показатель) или в рублях выплаченной заработной платы (ее величина - стоимостный показатель); выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах (тоннах, метрах и т.п.) или в виде своей стоимости.
На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т.е. суммарные величины произведений объемов затрачиваемых (или используемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.
Производственная функция нескольких переменных - это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных л равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:
При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y (будем обозначать объем выпуска, или дохода, на макроуровне большой буквой) чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х1 (=К) - объем используемого в течение года основного капитала), живой труд (х2 (=L) - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом строят двухфакторную f(х1, х2), или Y=f{K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. В качестве третьего фактора иногда вводят объемы используемых природных ресурсов. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.
ПФ у =f(х1, х2) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, т.е. могут иметь представление в виде временных рядов.
Пример . Для моделирования отдельного региона или страны в целом (т.е. для решения задач на макроэкономическом, а также и на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида у = a0x1a1x2a2, где а0, а1, а2 - параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а1 + а2 = 1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г. ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу так называемых мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х1 = K равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов - в отечественной терминологии), x2=L - затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:
Пример . Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид: у= а0 + а1х1 + a2x2. (двухфакторная) и у= а0 + а1х1 + a2x2+ …+anxn(многофакторная). ЛПФ принадлежит к классу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ
Выполняя обратный переход, из аддитивной ПФ получим мультипликативную ПФ.
Если а1 + а2 = 1, то ее можно записать в несколько другой форме:
называются соответственно производителностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получим
т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД. В связи с тем, что 0 < a1< 1, из последней формулы следует, что производительность труда растет медленнее его капиталовооруженности. Однако этот вывод справедлив для случая статической ПФКД в рамках существующих технологии и ресурсов.
Отметим здесь, что дробь Y / K — называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби K / Y и L / Y называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.
ПФ называется динамической, если:
1) время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;
2) параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.
Отметим, что если параметры ПФ оценивались по данным врменных рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью T0 лет (т.е. базовый промежуток для оценки параметров имеет продолжительность T0 лет), то экстраполяционные расчеты по такой ПФ