Экономическое моделирование (стр. 4 из 5)
Рассчитайте трендовую и сезонную компоненты. Постройте мультипликативную модель этого ряда. Найдите наиболее целесообразный вариант построения уравнения авторегрессии через расчет коэффициентов автокорреляции первого, второго и третьего порядка. Охарактеризуйте структуру этого ряда.
Решение
1. Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели
Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый месяц (по всем годам) оценки сезонной компоненты Sj. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна числу периодов в цикле, т.е. двенадцати, так как в нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 12 месяцам. Для данной модели имеем:
.Определим корректирующий коэффициент:
.Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:
,где
.Проверим условие равенства двенадцати суммы значений сезонной компоненты:
.Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
Элиминируем влияние сезонной компоненты, разделив значение каждого уровня исходного временного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим T∙E=Y/S, значения, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Таблица 5.3 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели
| t | y | S | y/S | T | T·S |  | E |  |  |
| 1 | 472,5 | 1,045 | 452,024 | 462,884 | 483,852 | 1223,600 | 0,977 | -11,352 | 128,866 |
| 2 | 482,1 | 0,992 | 486,039 | 464,396 | 460,632 | 644,144 | 1,047 | 21,468 | 460,863 |
| 3 | 489,5 | 0,995 | 492,032 | 465,908 | 463,510 | 323,280 | 1,056 | 25,990 | 675,460 |
| 4 | 493,6 | 0,994 | 496,428 | 467,419 | 464,757 | 192,654 | 1,062 | 28,843 | 831,923 |
| 5 | 488 | 0,996 | 490,190 | 468,931 | 466,836 | 379,470 | 1,045 | 21,164 | 447,915 |
| 6 | 490,6 | 0,993 | 494,071 | 470,443 | 467,138 | 284,934 | 1,050 | 23,462 | 550,462 |
| 7 | 492,5 | 1,000 | 492,362 | 471,955 | 472,087 | 224,400 | 1,043 | 20,413 | 416,700 |
| 8 | 488,1 | 0,997 | 489,587 | 473,466 | 472,028 | 375,584 | 1,034 | 16,072 | 258,315 |
| 9 | 493,1 | 1,000 | 493,166 | 474,978 | 474,915 | 206,784 | 1,038 | 18,185 | 330,712 |
| 10 | 484,5 | 0,997 | 485,935 | 476,490 | 475,083 | 528,080 | 1,020 | 9,417 | 88,688 |
| 11 | 483 | 0,997 | 484,563 | 478,001 | 476,459 | 599,270 | 1,014 | 6,541 | 42,783 |
| 12 | 476,9 | 0,994 | 479,676 | 479,513 | 476,738 | 935,136 | 1,000 | 0,162 | 0,026 |
| 13 | 477,9 | 1,045 | 457,190 | 481,025 | 502,814 | 874,976 | 0,950 | -24,914 | 620,722 |
| 14 | 467,5 | 0,992 | 471,320 | 482,537 | 478,626 | 1598,400 | 0,977 | -11,126 | 123,785 |
| 15 | 470,9 | 0,995 | 473,336 | 484,048 | 481,558 | 1338,096 | 0,978 | -10,658 | 113,586 |
| 16 | 469,1 | 0,994 | 471,787 | 485,560 | 482,794 | 1473,024 | 0,972 | -13,694 | 187,532 |
| 17 | 478,1 | 0,996 | 480,246 | 487,072 | 484,896 | 863,184 | 0,986 | -6,796 | 46,180 |
| 18 | 480,6 | 0,993 | 484,000 | 488,584 | 485,151 | 722,534 | 0,991 | -4,551 | 20,714 |
| 19 | 479,3 | 1,000 | 479,166 | 490,095 | 490,233 | 794,112 | 0,978 | -10,933 | 119,520 |
| 20 | 484,2 | 0,997 | 485,676 | 491,607 | 490,113 | 541,958 | 0,988 | -5,913 | 34,968 |
| 21 | 484,9 | 1,000 | 484,965 | 493,119 | 493,053 | 509,856 | 0,983 | -8,153 | 66,467 |
| 22 | 485,6 | 0,997 | 487,038 | 494,630 | 493,170 | 478,734 | 0,985 | -7,570 | 57,300 |
| 23 | 486,1 | 0,997 | 487,674 | 496,142 | 494,541 | 457,104 | 0,983 | -8,441 | 71,255 |
| 24 | 484,7 | 0,994 | 487,521 | 497,654 | 494,774 | 518,928 | 0,980 | -10,074 | 101,480 |
| 25 | 510,9 | 1,045 | 488,760 | 499,166 | 521,777 | 11,696 | 0,979 | -10,877 | 118,302 |
| 26 | 484,7 | 0,992 | 488,660 | 500,677 | 496,620 | 518,928 | 0,976 | -11,920 | 142,075 |
| 27 | 486,6 | 0,995 | 489,117 | 502,189 | 499,605 | 435,974 | 0,974 | -13,005 | 169,130 |
| 28 | 488,4 | 0,994 | 491,198 | 503,701 | 500,832 | 364,046 | 0,975 | -12,432 | 154,543 |
| 29 | 489,5 | 0,996 | 491,697 | 505,212 | 502,955 | 323,280 | 0,973 | -13,455 | 181,042 |
| 30 | 486,6 | 0,993 | 490,042 | 506,724 | 503,164 | 435,974 | 0,967 | -16,564 | 274,382 |
| 31 | 491,8 | 1,000 | 491,662 | 508,236 | 508,378 | 245,862 | 0,967 | -16,578 | 274,837 |
| 32 | 495,2 | 0,997 | 496,709 | 509,748 | 508,199 | 150,798 | 0,974 | -12,999 | 168,971 |
| 33 | 491,8 | 1,000 | 491,866 | 511,259 | 511,191 | 245,862 | 0,962 | -19,391 | 376,008 |
| 34 | 496,1 | 0,997 | 497,569 | 512,771 | 511,257 | 129,504 | 0,970 | -15,157 | 229,726 |
| 35 | 498,8 | 0,997 | 500,415 | 514,283 | 512,623 | 75,342 | 0,973 | -13,823 | 191,086 |
| 36 | 501,5 | 0,994 | 504,419 | 515,794 | 512,809 | 35,760 | 0,978 | -11,309 | 127,902 |
| 37 | 541 | 1,045 | 517,556 | 517,306 | 540,739 | 1123,590 | 1,000 | 0,261 | 0,068 |
| 38 | 512,3 | 0,992 | 516,486 | 518,818 | 514,613 | 23,232 | 0,996 | -2,313 | 5,351 |
| 39 | 512,6 | 0,995 | 515,251 | 520,330 | 517,652 | 26,214 | 0,990 | -5,052 | 25,526 |
| 40 | 511,5 | 0,994 | 514,430 | 521,841 | 518,869 | 16,160 | 0,986 | -7,369 | 54,300 |
| 41 | 511,9 | 0,996 | 514,197 | 523,353 | 521,015 | 19,536 | 0,983 | -9,115 | 83,079 |
| 42 | 513,9 | 0,993 | 517,536 | 524,865 | 521,178 | 41,216 | 0,986 | -7,278 | 52,965 |
| 43 | 520 | 1,000 | 519,854 | 526,376 | 526,524 | 156,750 | 0,988 | -6,524 | 42,562 |
| 44 | 515,9 | 0,997 | 517,472 | 527,888 | 526,284 | 70,896 | 0,980 | -10,384 | 107,836 |
| 45 | 524,2 | 1,000 | 524,270 | 529,400 | 529,329 | 279,558 | 0,990 | -5,129 | 26,308 |
| 46 | 527,1 | 0,997 | 528,661 | 530,912 | 529,344 | 384,944 | 0,996 | -2,244 | 5,035 |
| 47 | 529,8 | 0,997 | 531,515 | 532,423 | 530,705 | 498,182 | 0,998 | -0,905 | 0,820 |
| 48 | 534,9 | 0,994 | 538,014 | 533,935 | 530,845 | 751,856 | 1,008 | 4,055 | 16,443 |
| 49 | 578,2 | 1,045 | 553,144 | 535,447 | 559,701 | 5001,318 | 1,033 | 18,499 | 342,198 |
| 50 | 539,4 | 0,992 | 543,807 | 536,959 | 532,607 | 1018,886 | 1,013 | 6,793 | 46,148 |
| 51 | 545,3 | 0,995 | 548,120 | 538,470 | 535,700 | 1430,352 | 1,018 | 9,600 | 92,168 |
| 52 | 551,9 | 0,994 | 555,062 | 539,982 | 536,906 | 1973,136 | 1,028 | 14,994 | 224,816 |
| 53 | 549,7 | 0,996 | 552,167 | 541,494 | 539,074 | 1782,528 | 1,020 | 10,626 | 112,904 |
| 54 | 550,1 | 0,993 | 553,992 | 543,005 | 539,191 | 1816,464 | 1,020 | 10,909 | 119,009 |
| 55 | 554 | 1,000 | 553,845 | 544,517 | 544,670 | 2164,110 | 1,017 | 9,330 | 87,055 |
| 56 | 550 | 0,997 | 551,676 | 546,029 | 544,370 | 1807,950 | 1,010 | 5,630 | 31,698 |
| 57 | 565,6 | 1,000 | 565,676 | 547,541 | 547,467 | 3377,934 | 1,033 | 18,133 | 328,793 |
| 58 | 564,7 | 0,997 | 566,373 | 549,052 | 547,431 | 3274,128 | 1,032 | 17,269 | 298,224 |
| 59 | 566,9 | 0,997 | 568,735 | 550,564 | 548,788 | 3530,736 | 1,033 | 18,112 | 328,060 |
| 60 | 572,7 | 0,994 | 576,034 | 552,076 | 548,881 | 4253,648 | 1,043 | 23,819 | 567,361 |
| Итого | 52661,016 | 60,006 | 1,751 | 11202,95 |
Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T∙E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
Таким образом, имеем линейный тренд:
.Подставив в это уравнение значение t = 1, 2, …, 60, найдем уровни Т для каждого момента времени.
Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев.
Расчет ошибки в мультипликативной модели проводится по формуле:
.Численные значения ошибок приведены в таблице
Для оценки качества построения мультипликативной модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок
. Для данной мультипликативной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 11202,95. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 52661,016, эта величина составляет 21,2%: 
.Следовательно, можно сказать, что мультипликативная модель объясняет 78,8% общей вариации уровней временного ряда объема продаж в перерабатывающей промышленности и торговле США за последние 60 месяцев. Мультипликативная модель построена.
При этом при расчете коэффициента автокорреляции первого порядка параметрами будут являться значения исходного ряда
и значения ряда с отставанием на 1 
.